单科标准练(三)

单科标准练(三)
(满分：150分　时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|2x＋1＞0}，N＝{x|(x＋1)(x－4)＜0}，则M∩N＝(　　)
A．(1,4)　 B.
C．(－1,4) D.
B　[由2x＋1＞0，得x＞－，所以M＝.解不等式(x＋1)(x－4)＜0，得－1＜x＜4，所以N＝(－1,4)．故M∩N＝，故选B.]
2．已知＝n＋i(m，n∈R)，其中i为虚数单位，则m＋n＝(　　)
A．3　　　　B．2 C．4　　　　D．－4
A　[法一：由已知得m＋3i＝(1＋i)(n＋i)＝n－1＋(n＋1)i，由复数相等的充要条件可得所以所以m＋n＝3，故选A.
法二：＝＝＝n＋i，由复数相等的充要条件可得所以所以m＋n＝3，故选A.]
3．已知a，b∈R，则使a＞b成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．a3＞b3 B.＜
C．a2＞b2 D．a＞b＋|b|
D　[对于A，a3＞b3⇔a＞b，故A是充要条件；对于B，当a＝－1，b＝2时，＜，但a＜b，故B不是充分条件；对于C，当a＝－2，b＝－1时，a2＞b2，但a＜b，故C不是充分条件；对于D，若a＞b＋|b|，则a＞b，但由a＞b不能得到a＞b＋|b|，如a＝2，b＝1时，a＞b，但a＝b＋|b|，故D是充分不必要条件，选D.]
4．函数f(x)＝的大致图象是(　　)

A　　　B　　　C　　　D
A　[易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，ex＞0.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，ln|x|＞0，所以f(x)＞0，由此可以排除选项C，D；又f(x)不是偶函数，所以排除选项B.故选A.]
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊥α，m∥n，则n⊂β
B．若m，n为异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m⊥n，n∥β，则α⊥β
B　[对于A，若α⊥β，m⊥α，m∥n，则n⊂β或n∥β，A错误；显然B正确；对于C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，C错误；对于D，若m⊥α，m⊥n，n∥β，则α∥β或 α与β相交，D错误．]
6．已知f(x)＝ln x＋x，设函数f(x)图象上点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A　[因为f′(x)＝＋＞，所以tan α＞，所以＜α＜.]
7．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D　[法一：∵a＋c＝－b，∴(a＋c)2＝(－b)2，设a与c的夹角为θ，则|a|2＋|c|2＋2|a||c|cos θ＝|b|2，∴cos θ＝＝－，易知0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.故选D.
法二：在△ABC中，设＝a，＝c，＝b，∵|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴C＝90°，A＝60°，∴a与c的夹角为120°.故选D.]
8．要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝sin的图象上所有点的(　　)
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C　[因为y＝cos x＝sin，所以将y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x的图象．]
9．为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填(　　)

A．i≤100 B．i＜101
C．i＜99 D．i＝101
D　[i＝1，N＝1，T＝；i＝3，N＝1＋，T＝＋；…；i＝99，N＝1＋＋…＋，T＝＋＋…＋；i＝101，结束循环．输出S＝N－T＝1－＋－＋…＋－.故选D.]
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且＝2，△ABF1的周长是C的实轴长的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
B　[设|BF2|＝m，则由＝2，得|AF2|＝2m.由于|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，所以|AF1|＝2m＋2a，|BF1|＝m＋2a，则△ABF1的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝2a＋2m＋2m＋m＋m＋2a＝6m＋4a.又C的实轴长的3倍为6a，所以6m＋4a＝6a，m＝.又|BF2|＞c－a，所以＞c－a，因此＜，又e＞1，所以1＜e＜，故选B.]
11．把一个球形的铁质原材料切割成为正三棱柱形的工业用零配件，若该正三棱柱形的零配件的最大体积为8 cm3，则球形铁质原材料的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
D　[设正三棱柱的外接球的半径为R cm，正三棱柱的高为h cm，底面正三角形的边长为a cm，则h2＝R2－2，所以V正三棱柱＝a2·＝a2·＝(cm3)．令t＝a2，则t＞0，所以y＝3R2a4－a6可化为y＝－t3＋3R2t2，则y′＝－3t(t－2R2)，所以函数y＝－t3＋3R2t2在(0,2R2)上单调递增，在(2R2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2R2，即a＝R时，正三棱柱的体积最大，得R3＝8，即R＝2，所以球形铁质原材料的体积为π×8＝(cm3)．]
12．已知函数f(x)＝(a＞0)，若函数g(x)＝f(x)－3|x|有三个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(0,2)∪[5，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪[5，＋∞)
A　[因为函数g(x)＝f(x)－3|x|有三个零点，所以y＝f(x)的图象与y＝3|x|的图象有三个交点．因为a＞0，所以当x≤0时，由x2－2x＝－3x得，x＝－1或x＝0，所以当x≤0时，y＝f(x)的图象与y＝3|x|的图象有两个交点，则当x＞0时，y＝f(x)的图象与y＝3|x|的图象有1个交点．令3x＝8－x，得x＝2，所以0＜a＜2符合题意；令3x＝x2－2x，得x＝5或x＝0(舍去)，所以a≥5符合题意．综上，a的取值范围是(0,2)∪[5，＋∞)，故选A.]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)
13．如果我们利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，且1,2,3,4表示下雨，5,6,7,8,9,0表示不下雨，每4个随机数作为1组，从如下的随机数表的第3行、第7列开始向右数，产生20组随机数，则可推断今后四天中有三天下雨的概率是________．
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 99 69 81 62
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32
16 76 02 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
0．1　[20组随机数为：2766,5650,2671,0732,9079,7853,1256,8599,2696,9668,2731,0503,7293,1555,5956,3564,3854,8246,2231,6243.通过分析，发现只有2731,6243满足条件，故所求概率为0.1.]
14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos A＝sin B，且a＝2，b＋c＝6，则△ABC的面积为________．
2　[由题意可知＝＝，又a＝2，所以tan A＝，所以A＝，由余弦定理得12＝b2＋c2－bc，又b＋c＝6，所以bc＝8，从而△ABC的面积为bcsin A＝×8×sin＝2.]
15．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1，A，B两点在x轴上，且关于坐标原点O对称，若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则|AB|的取值范围是________．
[8,12]　[不妨设A(m,0)(m＞0)，则B(－m,0)，由已知可得以线段AB为直径的圆与圆C相交或相切，则|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6，所以|AB|＝2m∈[8,12]．]
16．已知椭圆＋＝1上有三点A，B，C，其中B(1,2)，C(－1，－2)，tan∠BAC＝，则点A到直线BC的距离为________．
　[设直线AB，AC的倾斜角分别为θ1，θ2，不妨记θ1＞θ2，由tan∠BAC＝＞0，知∠BAC＜，则数形结合易知当θ1－θ2＝∠BAC时，才能满足题意，故tan(θ1－θ2)＝，即＝，又kAB·kAC＝·＝＝＝－2，所以kAB－kAC＝－，结合kAB·kAC＝－2，解得或而当时，数形结合易知θ1－θ2≠∠BAC，且∠BAC＞，故舍去．当kAC＝4，kAB＝－时，由得A，此时点A到直线BC：2x－y＝0的距离为＝.由椭圆的对称性知：当θ1＜θ2时，同理可得点A到直线BC的距离为.]
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝，S3＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的公比；
(2)对于数列{Sn}中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？
[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
由a3＝，得a1＝＝，a2＝＝，
由S3＝，得a1＋a2＋a3＝，
所以＋＋＝，解得q＝1或q＝－.
(2)当q＝1时，a1＝，Sn＝n，Sn＋1＝(n＋1)，Sn＋2＝(n＋2)，2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，所以Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列．
所以当q＝1时，数列{Sn}中任意连续的三项Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列．
当q＝－时，a1＝2，Sn＝＝，
Sn＋1＝＝，
Sn＋2＝＝，
Sn＋Sn＋1＝＋＝－n，
2Sn＋2＝＝－×n，
所以2Sn＋2＝Sn＋Sn＋1，所以Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列．
所以当q＝－时，数列{Sn}中任意连续的三项Sn，Sn＋1，Sn＋2按照顺序Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列．
18．(本小题满分12分)如图，已知菱形ABCD的边长为6，AC∩BD＝O，∠BAD＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝3，得到三棱锥B­ACD.

(1)M为线段BC上任意一点，求证：平面OMC⊥平面ODC；
(2)设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得三棱锥N­OCD的体积为3，求CN的长．
[解]　(1)因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以折叠前AC⊥BD，折叠后AC⊥OD，AC⊥OB.
易知OD＝OB＝3，因为BD＝3，
所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD，
又OB⊥AC，AC∩OD＝O，所以OB⊥平面ACD.
又OB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，
所以平面OMC⊥平面ODC.
(2)设三棱锥N­OCD的高为h，则VN­OCD＝3＝×S△COD×h＝××3×3×h，
故h＝2.
过点N作NG⊥OD于点G(图略)，连接GC，易知GN＝h＝2，OG＝1，DN＝2，NG⊥GC，则在Rt△GOC中，GC＝2，
则在Rt△GNC中，NC＝＝＝4.
故当点N是线段BD上靠近点B的三等分点时，VN­OCD＝3，此时CN＝4.
19．(本小题满分12分)某海滨城市为迎接全国文明城市的检查，特意制作800块大小不一的宣传标语牌，某广告公司承担此项制作任务，先采用分层抽样的方法进行实际调查，随机抽取50个位置，测量其高度，以方便制作．据测量，抽取的50个位置的高度全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果分成8组：第1组[155,160)，第2组[160,165)，…，第8组[190,195]．下图是按上述分组方法得到的条形图．

(1)根据已知条件填写下面表格：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
频数








(2)估计这座城市800块标语牌中高度在175 cm以上(含175 cm)的块数；
(3)在样本中，所有宣传标语牌为蓝色或红色，若第2组有1块为红色，其余为蓝色，第7组有1块为蓝色，其余为红色，在第2组和第7组中各随机选一块宣传标语牌，问：所选的2块标语牌恰为同种颜色的概率是多少？
[解]　(1)由条形图可得第7组的频率为
1－(0.04×2＋0.08×2＋0.2×2＋0.3)＝0.06，
∵0.06×50＝3，∴第7组的频数为3，
故填写的表格如下：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
2
4
10
10
15
4
3
2
(2)由条形图得高度在175 cm以上(含175 cm)的频率为0.48，所以估计这座城市800块宣传标语牌中高度在175 cm以上(含175 cm)的块数是800×0.48＝384.
(3)第2组的4块标语牌分别记为a，b，c，d，其中a为红色，b，c，d为蓝色，第7组的3块标语牌分别记为1,2,3，其中1,2为红色，3为蓝色，则基本事件列表如下：

a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件共有12个，其中恰为一红一蓝的有7个，
因此所求概率P＝1－＝.
20．(本小题满分12分)设以线段AB为直径的圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)和抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且A，B都不与原点O重合．
(1)若直线AB的斜率为1，求抛物线的方程；
(2)试判断圆C是否过点O，若过点O，求出直线AB的方程；若不过点O，请说明理由．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为线段AB是圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)的直径，
所以线段AB的中点坐标为(2,1)，
所以直线AB的斜率k＝＝＝＝＝p，则p＝1，
所以所求抛物线的方程为y2＝2x.
(2)易知直线AB的斜率一定存在且不为0，设为k，
由(1)知k＝p，则k＞0.
又A，B都不与原点O重合，所以k≠.
易知直线AB的方程为y－1＝k(x－2)，
由消去x得y2－2y－4k＋2＝0，
由Δ＞0解得k＞，所以k＞且k≠.
若圆C过点O，则⊥，即·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝y1y2·＝(－4k＋2)·＝0.
因为k＞且k≠，所以－4k＋2≠0，
又4k2－4k＋2＞0，所以上述方程无解，所以圆C不过原点O.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋a2x，其中a∈R.
(1)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)－a2x(x∈[0,2])在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．
[解]　(1)由题意得f′(x)＝ax2－3x＋a2.
因为函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a2＝0，解得a＝－2或a＝1.
当a＝1时，f′(x)＝x2－3x＋＝(x－1)2≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不满足函数f(x)在x＝1处有极大值，舍去；
当a＝－2时，f′(x)＝－3x2－3x＋6＝－3(x＋2)(x－1)，
当x＜－2或x＞1时，f′(x)＜0，－2＜x＜1时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，故函数f(x)在x＝1处取得极大值．
所以a的值为－2.
(2)法一：由题意得g(x)＝ax3＋(a－1)x2－3x＋a2，x∈[0,2]，
因为函数g(x)在x＝0处取得最大值，而g(0)＝a2，
所以g(0)＝a2≥g(x)＝ax3＋(a－1)x2－3x＋a2，x∈[0,2]，
即ax3＋(a－1)x2－3x≤0，x∈[0,2]，
即ax2＋(a－1)x－3≤0.
当x＝0时，显然成立；
当x∈(0,2]时，a≤＝＝，
令h(x)＝(x＋2)－－1，x∈(0,2]，易知h(x)在(0,2]上单调递增，故h(x)∈，
故≥，
故a≤，即a的取值范围为.
法二：由题意得g(x)＝ax3＋(a－1)x2－3x＋a2，x∈[0,2]，
故g′(x)＝ax2＋3(a－1)x－3，
令g′(x)＝0，即ax2＋3(a－1)x－3＝0，Δ＝9a2＋9＞0，
所以g′(x)＝0有两个不相等的实数根．
当a＞0时，分析易知，两实数根异号，
若g(x)在x＝0处取得最大值，则需g(0)≥g(2)，所以0＜a≤.
当a＝0时，g(x)＝－x(x＋2)，易知g(x)在x∈[0,2]上单调递减，g(x)在x＝0处取得最大值，故满足条件．
当a＜0时，函数g′(x)＝ax2＋3(a－1)x－3图象的对称轴方程为x＝－＜0，
所以函数g′(x)在x∈[0,2]上单调递减，
又g′(0)＝－3＜0，所以当x∈[0,2]时，g′(x)＜0，
所以g(x)在x∈[0,2]上单调递减，g(x)在x＝0处取得最大值，满足条件．
综上，a的取值范围为.
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，过曲线ρsin2θ＝2pcos θ(p＞0)的焦点F作弦BC，且弦BC的垂直平分线交BC于点M，交x轴于点N.
(1)当弦BC所在直线的倾斜角为时，写出弦BC所在直线的参数方程，并求|BC|；
(2)求证：|MN|2＝|FB|·|FC|.
[解]　(1)由ρsin2θ＝2pcos θ(p＞0)，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得y2＝2px(p＞0)，其焦点F.
又弦BC所在直线的倾斜角为，
∴其参数方程为(t为参数)．
将它代入y2＝2px(p＞0)中，整理得t2＋2pt－2p2＝0，Δ＝16p2＞0，
设点B，C对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2p，t1t2＝－2p2，
∴|BC|＝|t1－t2|＝＝4p.
(2)根据题意可设弦BC所在直线的倾斜角为α，则直线BC的参数方程为(t为参数)，代入y2＝2px(p＞0)，整理得t2sin2α－2ptcos α－p2＝0.
Δ＝4p2cos2α＋4p2sin2α＝4p2＞0，
设B，C对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝.
则|FB|·|FC|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝.
∵M为BC的中点，∴|MF|＝|t1＋t2|＝，
∴|MN|＝|MF|·|tan α|＝·|tan α|＝，
∴|MN|2＝，∴|MN|2＝|FB|·|FC|.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.
(1)解不等式f(x)＞4；
(2)若a，b，c都是正实数，且＋＋＝f(0)，求证：a＋2b＋3c≥.
[解]　(1)法一：①当x≤－1时，原不等式可化为－(x＋1)－(x－3)＞4，得x＜－1；
②当－1＜x＜3时，原不等式可化为x＋1－(x－3)＞4，无解；
③当x≥3时，原不等式可化为x＋1＋x－3＞4，得x＞3.
综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
法二：因为f(x)＝|x＋1|＋|x－3|≥|x＋1－(x－3)|＝4，当且仅当(x＋1)(x－3)≤0，即－1≤x≤3时取等号，
故f(x)＞4的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
(2)因为＋＋＝f(0)＝4，
所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)×
＝
≥(3＋2＋2＋2)
＝，
当且仅当a＝2b＝3c＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．