第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题

第三讲　用空间向量的方法解立体几何问题

高考考点
考点解读
利用空间向量证明平行与垂直关系
1.建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直
2．考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法
利用空间向量求线线角、线面角、面面角
以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量
利用空间向量解决探索性问题或其他问题
1.常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题
2．常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等．
(2)掌握各种角与向量之间的关系，并会应用．
(3)掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法．
预测2020年命题热点为：
(1)二面角的求法．
(2)已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直．
(3)给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在．

Z
1．向量法求空间角
(1)异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cosθ＝.
(2)线面角
设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sinθ＝.
(3)二面角
①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.

②如图(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
(4)点到平面的距离的向量求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.
2．利用向量方法证明平行与垂直
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．
(1)线线平行
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(2)线线垂直
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.
(4)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3.
(5)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.
(6)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
3．模、夹角和距离公式
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
(2)距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
||＝.

Y
1．在建立空间直角坐标系时，易忽略说明或证明建系的条件．
2．忽略异面直线的夹角与方向向量夹角的区别：两条异面直线所成的角是锐角或直角，与它们的方向向量的夹角不一定相等．
3．不能区分二面角与两法向量的夹角：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．

1．(2018·全国卷Ⅰ，18)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD．
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
[解析]　(1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，
所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．
(2)方法一：作PH⊥EF，垂足为H.
由(1)得，PH⊥平面ABFD．
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，设正方形ABCD的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.

由(1)可得，DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.
又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.
可得PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的一个法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.


所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
方法二：因为PF⊥BF，BF∥ED，所以PF⊥ED，
又PF⊥PD，ED∩DP＝D，所以PF⊥平面PED，
所以PF⊥PE，
设AB＝4，则EF＝4，PF＝2，所以PE＝2，
过P作PH⊥EF交EF于H点，
由平面PEF⊥平面ABFD，
所以PH⊥平面ABFD，连接DH，
则∠PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角，
由PE·PF＝EF·PH，所以PH＝＝，
因为PD＝4，所以sin∠PDH＝＝，
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
2．(2018·全国卷Ⅱ，20)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC．
(2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
[解析]　(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC．
(2)连接OM，如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系．

由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)，取平面PAC的法向量＝(2,0,0)．
设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则＝(a,4－a,0)．
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．
由·n＝0，·n＝0得
可取n＝((a－4)，a，－a)，
所以cos〈，n〉＝.
由已知得|cos〈，n〉|＝.
所以＝.
解得a＝－4(舍去)，a＝.
所以n＝.
又＝(0,2，－2)，
所以cos〈，n〉＝.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
3．(2018·北京卷，16)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF.
(2)求二面角B­CD­C1的余弦值．
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．

[解析]　(1)因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以CC1⊥AC．
在平行四边形A1ACC1中，E，F分别是AC，A1C1的中点，
所以EF∥CC1，
所以AC⊥EF.
在△ABC中，AB＝BC，E是AC的中点，
所以AC⊥BE，
又因为AC⊥EF，BE，EF⊂平面BEF，BE∩EF＝E，
所以AC⊥平面BEF.
(2)如图，建立空间直角坐标系E­xyz，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)，B1(0,2,2)，C1(－1,0,2)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1)，
显然＝(0,2,0)是平面CDC1的一个法向量，
设m＝(x，y，z)是平面BCD的一个法向量，
又＝(－1，－2,0)，＝(1，－2,1)，
所以不妨取y＝1，则x＝－2，z＝4，
所以平面BCD的一个法向量为m＝(－2,1,4)，
cos〈，m〉＝＝＝，
由图知，二面角B­CD­C1为钝角，
所以，二面角B­CD­C1的余弦值为－.
(3)方法一：记CD，EF交点为I，连接BI，
由(1)及已知，EF∥CC1，CC1∥BB1，
所以EF∥BB1，直线BG与直线FI共面，
又因为BG＝BB1＝AA1＝A1D，A1D