第二讲　圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

第二讲　圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

高考考点
考点解读
圆锥曲线的定义、标准方程与性质
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程
2．考查圆锥曲线的定义、性质
直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1.位置关系的判定
2．几何或代数关系式的证明
圆锥曲线中的最值(范围)及与弦有关的问题
1.考查弦长问题
2．求直线的方程或圆锥曲线的方程
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法．
(2)会利用圆锥曲线的性质解决相关问题．
(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法．
(4)会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题．
预测2020年命题热点为：
(1)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围．
(2)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题．

Z
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0).
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝∓.
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝∓.
3．弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝·|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切.
Y
1．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定位往往会做无用功．定位条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.
2．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是±还是±.
3．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．

1．(2018·全国卷Ⅱ，5)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( A )
A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析]　因为e＝＝，所以＝＝3，即＝2，＝±，所以渐近线方程为y＝±x.
2．(2018·全国卷Ⅰ，8)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM―→·FN―→＝( D )
A．5　　　 B．6　　　　
C．7　　　 D．8
[解析]　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，F(1,0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与抛物线方程联立有
可得或
所以FM―→＝(0,2)，FN―→＝(3,4)，
所以FM―→·FN―→＝0×3＋2×4＝8.
3．(文)(2018·全国卷Ⅲ，10)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点到C的渐近线的距离为( D )
A． B．2
C． D．2
[解析]　方法一(直接法)：由已知，双曲线C的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，
所以点(4,0)到C的渐近线的距离为d＝＝，
因为a2＋b2＝c2，离心率e＝＝，
所以e2＝＝2，a2＝，＋b2＝c2，b2＝，＝，＝，所以d＝2.

方法二(数形结合)：

画图草图，记C的递增的渐近线斜率为k，倾斜角为α，点P(4,0)到C的渐近线的距离为d，则k＝tanα＝(借助以角α为内角的直角三角形，α对边为b，邻边为a，由勾股定理求得斜边c)，

所以sinα＝＝，
又离心率e＝＝，
记c＝t，则a＝t，
所以b＝t，sinα＝＝，
在Rt△OPQ中，sinα＝，所以＝，所以d＝2.
(理)(2018·全国卷Ⅲ，11)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若＝，则C的离心率为( C )
A． B．2
C． D．
[解析]　选C．方法一：设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0，由可得P，由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，
得＝×，化简可得3a2＝c2，即e＝.
方法二：因为|PF2|＝b，|OF2|＝c，
∴|PO|＝a，在Rt△POF2中，设∠PF2O＝θ，则有cosθ＝＝；
∵在△PF1F2中，cosθ＝＝，
∴＝⇒b2＋4c2－6a2＝4b2⇒4c2－6a2＝3c2－3a2⇒c2＝3a2⇒e＝.
4．(2018·天津卷，7)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]　因为双曲线的离心率为2，所以＝2，c＝2a，b＝a，不妨令A(2a,3a)，B(2a，－3a)，双曲线其中一条渐近线方程为y＝x，所以d1＝＝，
d2＝＝；依题意得：＋＝6，解得：a＝，b＝3，所以双曲线方程为：－＝1.
5．(2018·北京卷，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0).
[解析]　由已知，直线l：x＝1，
又因为l被抛物线截得的线段长为4，抛物线图象关于x轴对称，
所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a×1，解得a＝1.故抛物线方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
6．(2018·江苏卷，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是2.
[解析]　由题意画图可知，渐近线y＝x与坐标轴的夹角为60°，故＝，c2＝a2＋b2＝4a2，故e＝＝2.
7．(文)(2018·全国卷Ⅰ，20)设抛物线C：y2＝2x，点A，B，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程．
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解析]　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，
所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
(理)(2018·全国卷Ⅰ，19)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程．
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
[解析]　(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
代入＋y2＝1可得，点A的坐标为或.
所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为线段AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，
所以∠OMA＝∠OMB．
综上，∠OMA＝∠OMB．



例1 (1)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝x2有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( A )
A．y2－＝1　　　　　 B．－y2＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]　抛物线y＝x2，
即x2＝8y的焦点为F(0,2)，
即c＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可得F到渐近线的距离为d＝＝b＝，
即有a＝＝＝1，
则双曲线的方程为y2－＝1.
(2)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( A )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
[解析]　解法一：－＝1表示双曲线，
则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m20，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．

G
　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
[解析]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c得a＝2b＝2，解得离心率＝.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
由题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，从而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.

例3 (2018·衡水一模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝且与双曲线C2：－＝1有共同焦点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
(3)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE.
[解析]　(1)由e＝，可得：＝，
即＝，所以＝，a2＝4b2，①
又因为c2＝2b2＋1，即a2－b2＝2b2＋1，②
联立①②解得：a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)因为l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，
所以直线l的斜率必存在且为负，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD的面积取最大值时直线l1的方程．
[解析]　(1)由已知可得b＝1，且2a＝4，
即a＝2，所以椭圆C1的方程是＋y2＝1.
(2)因为直线l1⊥l2，且都过点P(0，－1)，
所以设直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0，
直线l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0.
所以圆心(0,0)到直线l1的距离为d＝.
所以直线l1被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为|AB|＝2＝.
由⇒k2x2＋4x2＋8kx＝0，
Δ＝64k2≥0，所以xD＋xP＝－.
所以|DP|＝＝，
所以S△ABD＝|AB||DP|
＝××＝＝＝
＝≤＝，
当＝⇒k2＝⇒k＝±时等号成立，
此时直线l1的方程为y＝±x－1.

A组
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为( B )
A．y2＝6x　　　　　　　 B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝x
[解析]　依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝，
所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，
解得x＝，y＝p.
又△MFO的面积为4，所以××p＝4，
解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝ ( D )
A．m2－a2 B．－
C．(m－a) D．m－a
[解析]　不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a.
3．(文)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故选D．
(理)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，
故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析]　由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±，
因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：
－＝1(a>0，b>0)有两个交点，
所以>，所以1＋>4，所以e>2.
5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( B )
A．　　 B．3　　　
C．　　 D．2
[解析]　如图所示，因为＝4，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，
所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.
6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若＝，则p＝2.
[解析]　设直线AB：y＝x－，代入y2＝2px得：
3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，
又因为＝，即M为A，B的中点，
所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，
解得p＝2，p＝－6(舍去)．
7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为－2.
[解析]　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.
8．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12.
[解析]　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.
9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．
[解析]　(1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．
令y＝0，可得x＝x0－，
圆心(2,0)到切线的距离d＝＝2，
整理可得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0，
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝，
所以△QAB面积S＝|(x0－)－(x0－)|y0
＝2·＝2
＝2[(x0－1)＋＋2]．
设t＝x0－1∈[4，＋∞)，
则f(t)＝2(t＋＋2)在[4，＋∞)上单调递增，
所以f(t)≥，即△QAB面积的最小值为.
B组
1．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C )
A．(，＋∞)　 B．(，2 )　　
C．(1，)　 D．(1,2)
[解析]　由题意得双曲线的离心率e＝.
∴e2＝＝1＋.
∵a>1，∴0n且e1e2>1 B．m>n且e1e21.故选A．
4．已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，若·0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解析]　(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，
又∵△ABF2的周长为16，
∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
∴|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k，
在△ABF2中，由余弦定理得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，
∴a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2
∴F2A⊥AB，F2A⊥AF1，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，
从而c＝a，所以椭圆离心率为e＝＝.
(理)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

[解析]　本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．
(1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，
＝(c－x，－y)，
∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，
x∈[－a，a]，
由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知
Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
化简得：m2＝2k2＋1.
设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝.
①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，
∴|MN|＝·|d1－d2|，
∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝，
∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，
即S