第一讲　直线与圆 学案


专题六　解析几何


第一讲　直线与圆

高考考点
考点解读
直线的方程
1.求直线的倾斜角、斜率及直线方程
2．根据两直线平行或垂直求参数的值
圆的方程
1.圆的几何性质的应用
2．求圆的方程
直线与圆的位置关系
1.利用位置关系解决参数问题
2．利用位置关系解决轨迹等综合问题
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂直的位置关系．
(2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义．
(3)掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的位置关系，会利用位置关系解决综合问题．　　
预测2020年命题热点为：
(1)根据两直线的位置关系求参数的值．
(2)根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹．

Z
1．直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tanα.
②已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为k＝(x2≠x1)．
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝.
②点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝.
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长l＝2.
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：y－y0＝k(x－x0).
②斜截式：y＝kx＋b.
③两点式：＝.
④截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0.
(ⅱ)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．圆的有关问题
(1)圆的三种方程
①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
③圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
(2)判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．
(3)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
圆心距与两圆半径的关系
两圆的位置关系
|O1O2|<|r1－r2|
内含
|O1O2|＝|r1－r2|
内切
|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2|
相交
|O1O2|＝|r1＋r2|
外切
|O1O2|>|r1＋r2|
外离
Y
1．注意两平行线距离公式的应用条件
应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
2．忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
3．注意直线方程的限制条件
(1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x轴的直线；
(2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；
(3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；
(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．


1．(2018·全国卷Ⅲ，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( A )
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　由A(－2,0)，B(0，－2)，则三角形ABP的底边|AB|＝2，圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝2，又因为半径为r＝，所以点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为2＋＝3，最小值为2－＝，则三角形ABP的面积的最大值为Smax＝×2×3＝6，最小值为Smin＝×2×＝2，故△ABP面积的取值范围为[2,6]．
2．(2018·北京卷，7)在平面直角坐标系中，记d为点
P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为( C )
A．1　　　 B．2　　　　
C．3　　　 D．4
[解析]　选C．方法一：由已知d＝＝
＝
≤|sin(θ＋φ)|＋||≤1＋2＝3.
当且仅当＝2，且sin(θ＋φ)＝－1时取＝，
此时m＝0，d＝|cosθ－2|，cosθ能取到－1，
所以d的最大值为3.
方法二：由已知及sin2θ＋cos2θ＝1，点P(cosθ，sinθ)在圆x2＋y2＝1上．
又直线x－my－2＝0过定点(2,0)，
当d取得最大值时，即圆x2＋y2＝1上的动点P到动直线x－my－2＝0距离最大，
此时圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到动直线x－my－2＝0距离最大，数形结合，可知动直线为x＝2时，圆心(0,0)到动直线x－my－2＝0距离最大值为2，
所以圆x2＋y2＝1上的动点P到动直线x－my－2＝0的距离最大值为2＋1＝3，即d的最大值为3.

3．(2016·全国卷Ⅱ，4)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0 的距离为1，则a＝( A )
A．－　　 B．－　　　
C．　　 D．2
[解析]　圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为：(x－1)2＋(y－4)2＝4，
故圆心为(1,4)，d＝＝1，解得a＝－.
故选A．
4．(2018·天津卷，12)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

[解析]　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以
解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
5．(2018·全国卷Ⅰ，15)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则＝2.
[解析]　由x2＋y2＋2y－3＝0，得圆心为(0，－1)，半径为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
所以|AB|＝2＝2.
6．(2016·全国卷Ⅰ，15)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为4π.
[解析]　由圆C：x2＋y2－2ay－2＝0可得x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，由题意可知＝，解得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
7．(2017·天津卷，12)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
[解析]　由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.


例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( C )
A．1或3　　　　　　 B．1或5
C．3或5 D．1或2
[解析]　当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；
当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．
(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1 A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　由两点间距离公式可得|AC|＝，
直线AC的方程为x－3y＋2＝0，
所以点B到直线AC的距离d＝，
从而△ABC的面积S＝|AC|d＝|m－3＋2|
＝|(－)2－|
又1 『规律总结』
1．要注意几种直线方程的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
2．求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．
G
1．已知点P(3,2)是点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( A )
A．x－y＋1＝0　　　　　 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
[解析]　由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
2．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
[解析]　由得
∴l1与l2交点为(1,2)，直线x＝1显然不适合．
设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直线距离为2，
∴2＝.
∴k＝0或k＝.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

例2 (2017·全国卷Ⅲ，20)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
[解析]　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，
则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
·＝＝－1.
所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为.
圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为(，－)，圆M的半径为，
圆M的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
『规律总结』
求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．
G
1．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，则△ABP的外接圆的方程是( D )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1　 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
[解析]　∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴以OP为直径的圆过A、B两点，故△ABP的外接圆就是以OP为直径的圆，从而圆心为(2,1)，半径r＝，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
2．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( A )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[分析]　与已知直线和圆都相切的圆的圆心到已知圆的圆心和直线距离之差为已知圆的半径，当所求圆的圆心与已知圆的圆心连线与直线垂直时，所求圆的半径最小．

[解析]　

如图当两圆圆心的连线与已知直线垂直时，所求圆的半径最小，易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐标为C(c，－c)，又圆A的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，∴A(－1,1)，
则点A到直线x－y－4＝0的距离d＝＝3.
设圆C的半径为r，则2r＝3－＝2，
∴r＝.即点C(c，－c)到直线x－y－4＝0的距离等于.故有＝，∴c＝3或c＝1.
结合图形知当c＝3时，圆C在直线x－y－4＝0下方，不合题意，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.


例3 (1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝ ，则直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.
[解析]　(1)直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，
由R2＝d2＋(|MN|)2
得1＝＋，解得k＝2或，
所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.
(2)(2018·惠州一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
①若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
②若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
[解析]　①因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为：
(x－3)2＋(y－2)2＝1，又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为：y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，所以＝1，解上式得：k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为：y＝3或y＝－x＋3，即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
②因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以，设圆心C为(a,2a－4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为：(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有＝2，整理得：x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，
所以2－1≤≤2＋1，解得0≤a≤.
『规律总结』
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
(1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路；
首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线．
2．弦长的求解方法
(1)根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
G
1．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( A )
A．π　　　　　　　　 B．π
C．(6－2)π D．π
[解析]　由题意易知AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度．由点到直线的距离公式得OE＝.∴圆C面积的最小值为π()2＝π.故选A．
2．已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( D )
A．3　　 B．6　　　
C．4　　 D．2
[解析]　将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝＝，|BD|＝2＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2.
故选D．
3．已知m＝(2cosα，2sinα)，n＝(3cosβ，3sinβ)，若m与n的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是( D )
A．相交 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
[解析]　由向量的夹角公式得cos〈m，n〉＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，圆心(cosβ，－sinβ)到直线的距离d＝＝1>，
∴直线与圆相离．


A组
1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( B )
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，
2a2≠18，求得a＝－1，
∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为
d＝＝.故选B．
2．(文)直线x＋y＋＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　弦心距d＝＝1，半径r＝2，
∴劣弧所对的圆心角为.
(理)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为( D )
A． B．4
C． D．
[解析]　由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆心O(0,0)到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，
∴截得弦长为2＝2＝.
3．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为( B )
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0
B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0
D．x＝1或4x＋3y－4＝0
[解析]　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)，故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
4．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( C )
A．2 B．8
C．4 D．10
[解析]　由已知得kAB＝＝－，kCB＝＝3，所以kAB·kCB＝－1，所以AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得y＝±2－2，所以|MN|＝4，故选C．
5．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( A )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
[解析]　设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，
故直线CD的斜率kCD＝＝－1，
则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，
故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
[解析]　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴＝1，解得k＝－或k＝－.故选D．
7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝2.
[解析]　直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，即＝r，∴r＝2.
8．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为2＋y2＝.
[解析]　设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，依题意得＝，解得a＝， r2＝，所以圆的方程为2＋y2＝.
9．已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．
[解析]　(1)∵点M，N到直线l的距离相等，
∴l∥MN或l过MN的中点．
∵M(0,2)，N(－2,0)，
∴直线MN的斜率kMN＝1，
MN的中点坐标为C(－1,1)．
又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，
∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；
当l过MN的中点时，k＝kCD＝.
综上可知，k的值为1或.
(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，
∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，
∴d＝>，解得k<－或k>1.
10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
[解析]　(1)如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，
所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
所以|AD|＝2，|AC|＝4.
C点坐标为(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：＝2，
得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
B组
1．(2018·南宁一模)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为( A )
A．或 B．－或
C．－或 D．
[解析]　圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝，因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以由勾股定理得r2＝d2＋()2，即4＝＋3，解得k＝±，故直线的倾斜角为或.
2．设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为( B )
A．± B．±
C．±3 D．±9
[解析]　由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±.
3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为( C )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．5
[解析]　解法一：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，
可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－，
解得a＝1或－5.
解法二：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，
设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝
＝.
△ABC的面积为S△ABC＝×2×
＝|sin(θ－)＋a＋2|，
当a≥0时，a＋2－＝3－，解得a＝1；
当－2≤a<0时，|a＋2－|＝3－，无解；
当a<－2时，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5.
解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即＝1，解得m＝±－a，
两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离，
即＝，
(S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|.
当a≥0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝1.
当a<0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5.
故a＝1或－5.
4．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是( C )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2]
[解析]　本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因为||2＋||2＝4，所以||≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，
故选C．
5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是( C )
A．a>7或a<－3
B．a>或a<－
C．－3≤a≤－或≤a≤7
D．a≥7或a≤－3
[解析]　本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，
由得－ 两条直线都和圆相离时，
由得a<－3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a≤－或≤a≤7，故选C．
6．过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为.
[解析]　圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，
所以PC＝
＝≥，
PA＝PB＝，cos∠APC＝，
所以cos∠APB＝22－1＝1－，
所以·＝(PC2－1)(1－)＝－3＋PC2＋≥－3＋8＋＝，
所以·的最小值为.
7．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为4.
[解析]　以OC为直径的圆的方程为(x－)2＋(y－2)2＝()2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－[(x－)2＋(y－2)2]＝5－，化为3x＋4y－5＝0，C到AB的距离为d＝＝4.
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为2.
[解析]　由正弦定理得a2＋b2＝c2，
∴圆心到直线距离d＝＝＝，
∴弦长l＝2＝2＝2.
9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程．
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
[解析]　(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，
则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又点C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x2－)．
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．