第二讲 概率及其应用 学案

第二讲　概率及其应用

高考考点
考点解读
利用古典概型求事件的概率
1.单纯考查古典概型概率公式的应用
2．与互斥、对立事件相结合考查
3．与统计问题相结合命题
利用几何概型求事件的概率
1.与长度有关的几何概型
2．与面积有关的几何概型
概率与统计的综合问题
1.与频率分布相结合命题
2．与数字特征相结合命题
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握古典概型、几何概型的概率公式及其应用．
(2)注意古典概型与统计的结合题．
(3)注意几何概型与线性规划、平面几何相结合的问题．
预测2020年命题热点为：
(1)古典概型与互斥事件、对立事件相结合问题．
(2)古典概型与统计相结合问题．

Z
1．古典概型的概率
特点：有限性，等可能性．
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率
特点：无限性，等可能性．
P(A)＝.
3．随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1.
必然事件的概率为1；
不可能事件的概率为0.
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B).
4．互斥事件概率公式的推广
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．,Y
1．混淆互斥事件与对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件．
2．不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义．
3．几何概型中，线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果．
4．在几何概型中，构成事件区域的是长度、面积，还是体积判断不明确，不能正确区分几何概型与古典概型.

1．(2018·全国卷Ⅱ，5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( D )
A．0.6　　 B．0.5　　　
C．0.4　　 D．0.3
[解析]　用1,2代表两名男同学，A，B，C代表三名女同学，则选中的两人可以为12,1A,1B,1C,2A,2B,2C，AB，AC，BC共10种，全是女同学有AB，AC，BC共3种，
所以概率P＝＝0.3.故选D．
2．(2018·全国卷Ⅲ，5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析]　方法一：画Venn图，如图

设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x，则0.45＋0.15＋x＝1，解得x＝0.4，
所以不用现金支付的概率为0.4.
方法二：记“用现金支付”为事件A，“用非现金支付”为事件B，则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B－(A∩B)，
由已知，P(A)＝0.45＋0.15＝0.6，P(A∩B)＝0.15，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝0.6＋P(B)－0.15＝1，所以P(B)＝0.55，
P(B－(A∩B))＝P(B)－P(A∩B)＝0.55－0.15＝0.4.
3．(2017·全国卷Ⅱ，11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝＝.故选D．
4．(2017·全国卷Ⅰ，2)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )

A． B．
C． D．
[解析]　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知所求概率P＝＝＝.故选B．
5．(2018·北京卷，17)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
[解析]　(1)由表知，电影公司收集的电影部数为140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
获得好评的第四类电影部数为200×0.25＝50，
所以所求概率为＝0.025.
(2)方法一：记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A，
由表知，没有获得好评的电影部数为140×(1－0.4)＋50×(1－0.2)＋300×(1－0.15)＋200×(1－0.25)＋800×(1－0.2)＋510×(1－0.1)＝1 628，
所以P(A)＝＝0.814，
即所求概率为0.814.
方法二：记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A，则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件，
由表知，获得好评的电影部数为140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372，
所以P(A)＝＝0.186，
所以P()＝1－P(A)＝0.814，
即所求概率为0.814.
(3)由表及已知，第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，符合要求．


例1 某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率．
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解析]　用数对表示儿童参加活动先后记录的数，其活动记录与奖励情况如下：
y
xy
x
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
显然，基本事件总数为16.
(1)xy≤3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率＝.
(2)xy≥8情况有6种，所以获得水杯的概率＝＝，
所以小亮获得饮料的概率＝1－－＝<，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
『规律总结』
利用古典概型求概率的方法及注意点
(1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
(2)事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少．
G
(2018·昆明一模)某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．
(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；
(2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．
[解析]　将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种．
(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6种．
记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况．其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3,4,5,6)．
所以P()＝，
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.

例2 (1)(2018·资阳二模)在集合{x|0≤x≤a，a>0}中随机取一个实数m，若|m|<2的概率为，则实数a的值为( B )
A．5　　　 B．6　　　　
C．9　　　 D．12
[解析]　由题意|m|<2的概率为，则＝，解得a＝6.
(2)(2018·衡阳二模)若不等式组表示区域为Ω，不等式(x－)2＋y2≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为( A )
A．114 B．10
C．150 D．50
[解析]　作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC＝×3×＝，
区域Γ表示以D(，0)为圆心，以为半径的圆，
则区域Ω和Γ的公共面积为S′＝×()2＋×()2＝＋.
所以芝麻落入区域Γ的概率为＝.
所以落在区域Γ中芝麻数约为360×＝30π＋20≈114.

『规律总结』
判断几何概型中的几何度量形式的方法
1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关．
2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)．
提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、直观．
G
1．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log(x＋)≤1”发生的概率为( A )
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．
[解析]　由－1≤log(x＋)≤1，得≤x＋≤2，解得0≤x≤，所以事件“－1≤log(x＋)≤1”发生的概率为＝，故选A．
2．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何
时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)
[解析]　设小张和小王到校的时间分别为x和y，
则
则满足条件的区域如图中阴影部分所示．
故所求概率P＝＝.

(一)频率分布直方图与概率综合应用
例3 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
　　估计哪个地区用户的满意度等级为“不满意”的概率大？说明理由．
[解析]　(1)如图所示

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为“不满意”的概率大．
(二)茎叶图与概率的综合应用
例4 甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．(把频率当作概率)

(1)假设c＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
[解析]　(1)若c＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，
s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
∵甲＝乙，s ∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
(2)若乙>甲，则(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c)>85，
∴c>5，
∴c＝6,7,8,9，
又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.
『规律总结』
求概率与统计综合题的两点注意
(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．
(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．
G
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式．
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值．
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
[解析]　(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
y＝ (x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

A组
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．
[解析]　根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是.故选C．
2．在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为＝.
故选D．
3．(2018·江西宜春中学3月模拟)已知在数轴上0和3之间任取一个实数x，则使“log2x<1”的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析]　由log2x<1，得0 4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析]　令A＝“甲、乙下成和棋”，B＝“甲获胜”，C＝“甲输”，则＝“甲不输”．
∵P(A)＝，P(B)＝，∴P(C)＝1－，P(B)＝，∴P(C)＝1－－＝.∴P()＝1－＝.
故甲不输的概率为.
5．在区间[－，]上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析]　sinx＋cosx＝sin(x＋)，由1≤sin(x＋)≤，得≤sin(x＋)≤1，结合x∈[－，]得0≤x≤，所以所求概率为＝.故选D．
6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，且x，y相互独立，由题意可知所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.
7．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝.
[解析]　将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.
8．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为.
[解析]　要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为＝.
9.(2018·郑州模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为.
[解析]　设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为SAGFE＋SDGHI＋S△ADG＝()2＋()2＋×2×2＝12，
阴影部分的面积为2××2×2＝4，
所以向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为＝.
10．(2018·永州三模)我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫，把2017年列为“精准扶贫”攻坚年，2017年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本，以考核该县2016年的“精准扶贫”成效(2016年贫困家庭脱贫的标准为人均收入不小于3000元)．根据所得数据将人均收入(单位：千元)分成五个组：[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值．
(2)如果被抽取的100户贫困家庭有80%脱贫，则认为该县“精准扶贫”的成效是理想的．请从统计学的角度说明该县的“精准扶贫”效果是理想还是不理想？
(3)从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，求至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率．
[解析]　(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：0.02＋0.03＋0.45＋a＋0.2＝1，解得a＝0.3.
(2)由频率分布直方图得人均收入超过3000元的频率为：
1－0.02－0.03＝0.95＝95%>80%，
所以从统计学的角度来说该县的“精准扶贫”效果理想．
(3)户人均收入小于3千元的贫困家庭中有(0.02＋0.03)×100＝5(户)，其中人均收入在区间[1,2)上有0.02×100＝2(户)，人均收入在区间[2,3)上有0.03×100＝3(户)，从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，基本事件总数n＝10，至少有1户人均收入在区间[1,2)上的对立事件是两户人均收入都在区间[2,3)上，
所以至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率：P＝1－＝.
B组
1．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　如图所示，取边BC上的中点D，由＋＋2＝0，得＋＝2.又＋＝2，故＝，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求概率P＝＝，故选C．
2．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝ax3－bx2＋x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f ′(x)在x＝1处取得最值的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意得f ′(x)＝ax2－bx＋1，因为f ′(x)在x＝1处取得最值，所以＝1，符合的点数(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a，b)共有36种情况，所以所求概率为＝，故选C．
3．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( B )
A．p1 C．p3 [解析]　满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．

对三者的面积进行比较，可得p2 4．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( C )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意得：(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，所以π＝.
5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　总的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫；红紫，黄白，共3种．满足条件的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫，共2种．故所求事件的概率为P＝.
6．曲线C的方程为＋＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A为“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝.
[解析]　试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝＝.
7．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.
[解析]　将骰子先后抛掷2次的点数记为(x，y)，则共有36个等可能基本事件，其中点数之和大于或等于10的基本事件有6种：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以所求概率为＝.
8．(2018·湖北武汉二月调考)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数.
甲

乙
9　9
0
8　9　9
2　0　0
1
0　1
(1)求甲组工人制造零件的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，求这两名工人制造的零件总数不超过20的概率．
[解析]　(1)甲组工人制造零件数为9,9,10,10,12，故甲组工人制造零件的平均数＝(9＋9＋10＋10＋12)＝10，
方差为s2＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2]＝.
(2)由题意，得甲、乙两组工人制造零件的个数分别是：
甲：9,9,10,10,12；乙：8,9,9,10,11，
甲组中5名工人分别记为a，b，c，d，e，乙组中5名工人分别记为A，B，C，D，E，
分别从甲、乙两组中随机选取1名工人，共有25种方法，
制造零件总数超过20的有：
eB，eC，eD，eE，dE，cE，共6种，
故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P＝1－＝.
9．(2018·天津卷，15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
[解析]　(Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
(ii)由(Ⅰ)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P(M)＝.