第二讲 不等式选讲 学案

第二讲　不等式选讲

高考考点
考点解读
不等式的证明
与不等式的性质相结合，考查综合法在比较大小中的应用
绝对值不等式的解法
1.求解绝对值不等式的解集
2．与集合、概率等内容相结合命题
3．与不等式的恒成立相结合考查求解参数的取值范围
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题．题型多为解答题，难度为中档．

Z
1．绝对值不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．
②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．
③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．
3．证明不等式的基本方法
(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．
4．二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
,Y
1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．
2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．
3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.
1．(2018·全国卷Ⅰ，23)已知f＝－.
(1)当a＝1时，求不等式f>1的解集；
(2)若x∈时不等式f>x成立，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝
结合函数图象可知，不等式f(x)＞1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；
若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜，
所以≥1，故0＜a≤2.
综上，a的取值范围为(0,2]．
2．(2018·全国卷Ⅱ，23)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集．
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
3．(2018·全国卷Ⅲ，23)设函数f＝＋.
(1)画出y＝f的图象；
(2)当x∈时， f≤ax＋b，求a＋b的最小值．

[解析]　(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
4．(2018·江苏卷，21D)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．
[解析]　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值为4.
5．(2017·全国卷Ⅰ，23)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1 所以f(x)≥g(x)的解集为{x|－1≤x≤}．
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．


例1 (2018·昆明一模)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.
(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9.
(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9，
即|x＋5|＋|x－2|>9，
故有①；
或②；或③.
解①求得x<－6；解②求得x∈∅，解③求得x>3.
综上可得，原不等式的解集为{x|x<－6或x>3}．
(2)设关于x的不等式f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≤|x－4|的解集为A，
B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，
如果A∪B＝A，则B⊆A，
所以
即求得－1≤a≤0，
故实数a的范围为[－1,0]．
『规律总结』
1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤
(1)求零点；
(2)划区间，去绝对值符号；
(3)分别解去掉绝对值符号的不等式(组)；
(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．
2．图象法求解不等式
用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
G
(2016·全国卷Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(Ⅰ)画出y＝f(x)的图像；
(Ⅱ)求不等式|f(x)|﹥1的解集．

[解析]　(Ⅰ)f(x)＝
y＝f(x)的图像如图所示．

(Ⅱ)由f(x)的表达式及图像知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1 f(x)<－1的解集为{x|x<或x>5}．
所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或15}．

例2 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0.
得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，
即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0，得0 同理，0 故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
『规律总结』
本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．
G
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M.
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
[解析]　(1)当x<－时，f(x)＝－x－x－＝－2x<2，解得－1 当－≤x≤时，f(x)＝－x＋x＋＝1<2恒成立；
当x>时，f(x)＝2x<2，解得 综上可得，M＝{x|－1 (2)当a，b∈(－1,1)时，有(a2－1)(b2－1)>0，
即a2b2＋1>a2＋b2，
则a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，
则(ab＋1)2>(a＋b)2，即|a＋b|<|ab＋1|.

例3 (2018·汉中二模)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3.
(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
由f(x)≥3有|x－1|＋|x＋1|≥3，据绝对值几何意义求解．|x－1|＋|x＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数－左侧的点与数右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，
所以所求不等式解集为(－∞，－]∪[，＋∞)．
(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
『规律总结』
1．求含绝对值号函数的值的两种方法
(1)利用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．
(2)将函数化为分段函数，数形结合求解．
2．恒成立(存在)问题的等价转化

f(x)≥M
f(x)≤M
任意x恒成立⇔
f(x)min≥M
f(x)max≤M
存在x成立⇔
f(x)max≥M
f(x)min≤M

G
已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.
(1)若存在x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的范围．
(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集．
[解析]　(1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝
当2 所以－3≤f(x)≤3，所以m≥－3.
(2)不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0，
即－f(x)≥x2－8x＋15由(1)可知，
当x≤2时，－f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2 即x2－8x＋12≤0，所以5≤x≤6；
当x≥5时，－f(x)≥x2－8x＋15，
综上，原不等式的解集为{x|5－≤x≤6}．

A组
1．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.
(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0，求a的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝
当x>2时，1－x>0，即x<1，此时无解；
当≤x≤2时，5－3x>0，即x<，解得≤x<；
当x<时，x－1>0，即x>1，解得1 ∴不等式解集为{x|1 (2)2－x－|2x－a|<0⇒2－x<|2x－a|⇒x恒成立．
∵x∈(－∞，2)，∴a－2≥2，∴a≥4.
2．(2018·南宁二模)设实数x，y满足x＋＝1.
(1)若|7－y|<2x＋3，求x的取值范围．
(2)若x>0，y>0，求证：≥xy.
[解析]　(1)根据题意，x＋＝1，
则4x＋y＝4，即y＝4－4x，
则由|7－y|<2x＋3，可得|4x＋3|<2x＋3，
即－(2x＋3)<4x＋3<2x＋3，
解得－1 (2)x>0，y>0，
1＝x＋≥2＝，
即≤1，
－xy＝(1－)，
又由0<≤1，
则－xy＝(1－)≥0，
即≥xy.
3．(2018·西安二模)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)．
(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域．
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值．
[解析]　(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|>7；
①当x>2时，得x＋1＋x－2>7，解得x>4；
②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x>7，无解；
③当x<－1时，得－x－1－x＋2>7，解得x<－3；
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8；
因为x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3；
又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8解集是R；
所以a＋8≤3，即a≤－5.
所以a的最大值为－5.
4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.

(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若关于x的不等式f(x)≥ax＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由于f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|
＝
则函数y＝f(x)的图象如图所示．

(2)当x＝2时，f(2)＝3.
当直线y＝ax＋1过点(2,3)时，a＝1.
由函数y＝f(x)与函数y＝ax＋1的图象知，
当且仅当－3≤a≤1时，函数y＝f(x)的图象没有在函数y＝ax＋1的图象的下方，
因此f(x)≥ax＋1恒成立时，a的取值范围为[－3，1]．
B组
1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
(1)解不等式f(x)>0；
(2)已知关于x的不等式a＋3 [解析]　(1)∵f(x)＝|2x＋1|－|x－3|
＝
∴不等式f(x)>0化为
或或
∴x<－4或x>，
即不等式的解集为(－∞，－4)∪(，＋∞)．
(2)∵f(x)min＝－，∴要使a＋3 2．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|，a∈R.
(1)当a＝0时，解关于x的不等式f(x)>4；
(2)若∃x∈R，使得不等式|x－3|＋|x－a|<4成立，求实数a的取值范围．
[分析]　(1)按x＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解．
(2)∃x∈R，使不等式f(x)<4成立，即f(x)的最小值小于4.
[解析]　(1)由a＝0知原不等式为|x－3|＋|x|>4
当x≥3时，2x－3>4，解得x>.
当0≤x<3时，3>4，无解．
当x<0时，－2x＋3>4，解得x<－.
故解集为{x|x<－或x>}．
(2)由∃x∈R，|x－3|＋|x－a|<4成立可得，(|x－3|＋|x－a|)min<4.
又|x－3|＋|x－a|≥|x－3－(x－a)|＝|a－3|，
即(|x－3|＋|x－a|)min＝|a－3|<4.
解得－1 3．(2018·临川二模)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|.
(1)若f(1)<3，求实数a的取值范围．
(2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.
[解析]　(1)因为f(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3.
①当a≤0时，得－a＋(1－2a)<3，
解得a>－，所以－ ②当0 解得a>－2，所以0 ③当a≥时，得a－(1－2a)<3，
解得a<，所以≤a<；
综上所述，实数a的取值范围是(－，)．
(2)因为a≥1，x∈R，
所以f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|＝3a－1≥2.
4．(2018·安徽江南十校3月模拟)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记不等式f(x)>－1的解集为M.
(1)求M；
(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．
[解析]　(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝
由f(x)>－1，得
或或
解得0 故M＝{x|0 (2)由(1)，知0 因为a2－a＋1－＝＝，
当0 所以a2－a＋1<.
当a＝1时，＝0，
所以a2－a＋1＝.
当10，
所以a2－a＋1>.
综上所述：当0 当a＝1时，a2－a＋1＝.
当1.