第二讲 数形结合思想 学案

第二讲　数形结合思想

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数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

例1 若f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]，内g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是(  D  )

A．[0，)　　　　　 B．[，＋∞)

C．[0，)  D．(0，]

[解析]　当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，

∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x，

∴f(x＋1)＝x＋1.

而由f(x)＋1＝，可得f(x)＝－1＝

－1(x∈(－1,0])．

如图所示，作出函数f(x)在区间(－1,1]内的图象，

而函数g(x)零点的个数即为函数f(x)与y＝mx＋m图象交点的个数，显然函数y＝mx＋m的图象为经过点P(－1,0)，斜率为m的直线．

如图所示，f(1)＝1，故B(1,1)．直线PB的斜率k1＝＝；直线PO的斜率为k2＝0.由图可知，函数f(x)与y＝mx＋m的图象有两个交点，则直线y＝mx＋m的斜率k2<m≤k1，即m∈(0，]．

『规律总结』

利用数形结合求方程解应注意两点

1．讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．

2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

G

已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为1.

[解析]　作出f(x)的图象，如图所示，可令x1<x2<x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x＝－对称，所以

x1＋x2＝－1.又1<x1＋x2＋x3<8，所以2<x3<9.由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log2(9－m)，解得m＝1.

例2 在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(  B  )

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．

[思路探究]　看到求||2的最大值，所以我们要把它用参数表示出来，再利用圆的性质得出最值．

[解析]　依题设知：∠ADC＝∠ADB＝∠BDC＝120°，||＝|＝||＝2，所以以D为原点、直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，)．设P(x，y)，因为||＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，又＝，所以M(，)，＝(，)，2＝，它表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点(x，y)与点(－1，－3)的距离的平方的，

所以||＝(＋1)2＝.

『规律总结』

利用数形结合思想解决最值问题的一般思路

(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．

(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应的图象数形结合求解．

G

已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(  C  )

A．－1　　 B．　　　

C．＋1　　 D．＋2

[解析]　∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．

∴c－a－b＝(x－1，y－1)．

∵|c－a－b|＝1，

∴＝1，

即(x－1)2＋(y－1)2＝1.

又|c|＝，如图所示．

由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝＋1＝＋1.

例3 实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则的取值范围是(  D  )

A．[1,4]　 B．(1,4)　　

C．[，1]　 D．(，1)

[解析]　设f(x)＝x2＋ax＋2b，x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，因为另一个根在区间(1,2)内，

所以可得即

作出满足上述不等式组对应的点(a，b)

所在的平面区域，得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分(不含边界)．

其中A(－3,1)，B(－2,0)，C(－1,0)，设点E(a，b)为区域内的任意一点，则k＝，表示点E(a，b)与点D(1,2)连线的斜率．

因为kAD＝＝，kCD＝＝1，

结合图形可知：kAD<k<kCD，

所以的取值范围是(，1)．

『规律总结』

1．数形结合思想解决参数问题的思路

(1)分析条件所给曲线．(2)画出图象．(3)根据图象求解．

2．常见的数与形的转化

(1)集合的运算及韦恩图．(2)函数及其图象．(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象．(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线．

G

当x∈(1,2)时，(x－1)2<logax恒成立，则实数a的取值范围是(1,2].

[解析]　∵函数y＝(x－1)2在区间(1,2)上单调递增，∴当x∈(1,2)时，y＝(x－1)2∈(0,1)，若不等式(x－1)2<logax恒成立，则∴1<a≤2.