第一讲　函数与方程思想 学案

专题九   数学思想方法精析

第一讲　函数与方程思想

Z

一、函数思想

就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解．

二、方程思想

就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论， 从而使问题获解．

三、函数思想与方程思想联系

函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．

例1 (1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(  D  )

A．(－∞，－2]

B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[解析]　因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．

设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，

则此函数在区间[1,4]上恒大于0，

所以即

解得x<－2或x>2.

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(，).

[解析]　由f是偶函数且f在上单调递增可知，f(x)在上单调递减．

又因为f>f，f＝f，

所以2<，即<，解得<a<.

『规律总结』

函数与方程思想在不等式问题中的应用要点

(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题．

(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．

G

1．(2018·太原一模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为(  B  )

A．(－∞，0)　　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(2，＋∞)

[解析]　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．又因为g(0)＝＝1，所以<1.

即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．

2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值为(  C  )

A．0　　　 B．－2　　　　

C．－　　　 D．－3

[解析]　因为x2＋ax＋1≥0，

即a≥＝－(x＋)，令g(x)＝－(x＋)，

当0<x≤时，g(x)＝－(x＋)递增，

g(x)max＝g()＝－，故a≥－，

即a的最小值为－.

例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是(，2).

[解析]　由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，

因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6.

所以若x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]，

则f(－x)＝()－x－6＝3x－6，

因为f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝3x－6＝f(x)，

即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]，

由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，

作出函数f(x) 的图象如图．

当a>1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，

则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，

则满足

即

解得<a<2，故a的取值范围是(，2)．

『规律总结』

利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路

(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转论为函数零点问题．

(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．

G

已知函数f(x)＝x－cosx，则方程f(x)＝所有根的和为(  C  )

A．0　　　 B．　　　　

C．　　　 D．

[解析]　∵f(x)＝x－cosx，

∴f ′(x)＝＋sinx，

当x∈(－，)时，

∵sinx>－，

∴f ′(x)＝＋sinx>0，

∴f(x)＝x－cosx在(－，)上是增函数．

∵f()＝－cos＝，

∴在区间(－，)上有且只有一个实数x＝满足f(x)＝.

当x≤－时，有x≤－，－cosx≤1，

∴x≤－时，f(x)＝x－cosx≤－＋1<，

由此可得：当x≤时，f(x)＝没有实数根．

同理可证：x≥时，f(x)＝－1>，

∴方程f(x)＝也没有实数根．

综上可知f(x)＝，只有实数根.故选C．

例3 直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋ln x交于点A，B，则|AB|的最小值为(  D  )

A．3　　 B．2　　　

C．　　 D．

[解析]　当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1.

设方程x＋ln x＝a的根为t，

则t＋ln t＝a，则|AB|＝＝＝.

设g(t)＝－＋1(t>0)，

则g′(t)＝－＝，

令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；

当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，

所以g(t)min＝g(1)＝，

所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.

『规律总结』

求最值或参数范围的技巧

(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解．

(2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．

(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．

(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数．

G

如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，当·＋S取得最大值时θ的值为(  B  )

A．　　　 B．　　　　

C．　　　 D．

[解析]　∵＝(1,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴·＋S＝cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，故·＋S的最大值为，此时θ＝.故选B．

例4 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求m的取值范围．

[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

设c>0，c2＝a2－b2，

由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.

故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.

(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B2(x2，y2)，

由

得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，

Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)

x1＋x2＝，x1x2＝，

因为＝3，所以－x1＝3x2.

所以

则3(x2＋x2)2＋4x1x2＝0，

即3·()2＋4·＝0，

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，

即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0，

当m2＝时，上式不成立；

当m2≠时，k2＝，

由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，

所以k2＝>0，

解得－1<m<－或<m<1，

即所求m的取值范围为(－1，－)∪(，1)．

『规律总结』

利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤

第一步：联立方程．

第二步：求解判别式Δ.

第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．

第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．

G

若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(  B  )

A．[3－2，＋∞)　　　　 B．[3＋2，＋∞)

C．[－，＋∞)  D．[，＋∞)

[解析]　由c＝2，得a2＋1＝4，

∴a2＝3.

∴双曲线方程为－y2＝1.

设P(x，y)(x≥)，

·＝(x，y)·(x＋2，y)

＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1

＝x2＋2x－1(x≥)．

令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，

则g(x)在[，＋∞)内单调递增，

g(x)min＝g()＝3＋2.

∴·的取值范围为[3＋2，＋∞)．