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初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试课堂检测
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这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试课堂检测，共11页。试卷主要包含了 下列命题正确的是，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（每小题3分共36分）
1. 一个菱形的两条对角线的长分别为5和8,那么这个菱形的面积是（ ）
A. 40 B. 20 C. 10 D. 25
2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法不正确的是（ ）
A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形 B.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
C.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 D.当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形
3. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
4. 四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. BA=BC B. AC、BD互相平分 C. AC=BD D. AB//CD
5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是（ A ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
7.下列说法错误的是（ ）
A. 矩形的四个角相等 B. 菱形的四条边相等
C. 菱形的对角线相等 D. 正方形的对角线互相平分且垂直
8.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB的长为
半径画弧，两弧交于点D，连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
9.如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A. 43 B. 4 C. 23 D. 2
10. 已知线段AB，BC，∠ABC=90°，求作：矩形ABCD，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①以点C为圆心，AB为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求（如图1）
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，
在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求（如图2）
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙对
11.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°,点E、F分别从点B、D同时以相同的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下四个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E、F分别为边BC,DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E、F分别为边BC,DC的中点时，△AEF的面积最大.正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
二.填空题
13.已知菱形的两条对角线长分别为12和16，则菱形的周长为___________
14.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，点D在线段AC上，∠A=30°，∠BDC=60°，BC=3，则AD=_____
15.如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为___________
16.如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于点F，连接AF，若AB=4，AD=6，则sin∠AFE=_________
三.解答题
17.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF.
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积。
18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:CE=AD；
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由。
19.（8分）如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE、DE、BF、DF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）求∠AFD的值.
20.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形.
21.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°<θ<90°），连接AC1,BD1,相交于点P。
（1）求证：∆AOC1≅∆BOD1;(4分)
（2）请写出AC1与BD1的关系并给予证明。（4分）
22.如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG.
(1)求证：BE=2CF；
(2)试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明.
23.已知矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为0.
（1）如图1，连接AF、CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（4分）
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A---F---B---A停止，点Q自C---D---E---C停止，在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。（3分）
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出a与b满足的数量关系式.（2分）
答案详解
1. 解析：由菱形面积公式=对角线乘积的一半=5×8÷2=20，故选B
2. 解析：平行四边形+邻边相等+直角=正方形，故选D
3. 解析：矩形、菱形、正方形均是平行四边形，而平行四边形对角线互相平分，故选D
4. 解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选B
5. 解析：由中位线定理及矩形判定可判别，故选A
6. 解析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选B
7.解析：菱形的对角线垂直平分，但不一定相等，故选C
8. 解析：由作图痕迹可得AD=BC，CD=AB，两组对边相等的四边形是平行四边形，故选A
9. 解析：由题可知△ABD是等边三角形，AD=BD=4,设AC与BD交于点O，则DO=2，由勾股定理可得AO=23,故选A
10.解析：由作图痕迹可知两人的说法都正确，故 选A
11. 解析：多结论题型，压轴题。
解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC（直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半），∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；
②∵FB垂直平分OC，∴∠1=∠2=30°，∠3=30°，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵△FOB不会全等△OMB，∴△EOB不会全等△CMB，故②错误；
③∵△FOC≌△EOA，∴AE=FC，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵△OBF≌△OBE，∴BE=BF，∴平行四边形EBFD是菱形；故③正确；
④在直角△BOE中，∵∠3=30°，∴OB=3OE，∵∠2=30°，∴OB=23MB，∴3OE =23MB，∴MBOE=32，故④正确；所以其中正确结论的个数为①③④，故选C
12. 解析：①∵点E、F分别从点B、D同时以相同的速度沿边BC、DC向点C运动，∴BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE=AF,正确；②∵BE=DF,BC=CD,∴CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,正确
③连接AC，（菱形出现60°角时最常见的添辅助线方法），∵∠B=∠D=60°,∴△ABC、△ADC为等边三角形，∵E、F是BC、CD中点，∴∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=60°,由①的结论AE=AF,可得△AEF是等边三角形，正确；
④当E,F是中点时，S∆ABE=12S∆ABC, S∆ADF=12S∆ACD,即S∆ABE+S∆ADF=12S菱形ABCD,∴S∆AEF+S∆CEF=12S菱形ABCD, 即S∆AEF
13.解析： 菱形的周长为40
14.解析：如图解答
15. 解析：考查一次函数与几何综合，基础简单题。
由点A坐标可得出OA=5，即AB=5，∴B（8，4），∵OABC是菱形，∴OB即为∠AOC的角平分线，∴直线OB的解析式为：y=-0.5x
16. 解析：几何综合题型，填空压轴题。
解析：延长CE交BA的延长线于点M，作AP⊥CM于点P，易证△DEC∽△FCB，
则DE：CE=CF：CB，即3：5=CF：6，∴CF=3.6，∴EF=1.4，易证△DEC≌△AEM，∴AM=DC=4，ME=CE=5，在直角三角形AME中，根据射影定理可得：AE²=PE· ME，∴PE=1.8，∴PF=3.2，∵AM·AE=ME·AP，∴AP=2.4，由勾股定理可得AF=4，∴sin∠AFE=AP：AF=0.6
17. 解析：（1）证△ABE≌△CDF（SAS）便可得AE=CF
（2）∵∠AOD=120°，∴∠ACB=30°，∴BC=3AB=33，∴S矩形ABCD=93
18. 解析：考查特殊多边形的性质与判定，基础简单题。
（1）易证CE//AD，DE//AC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由是：
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得：CD=AD=BD，∵AD=CE，∴BD=CE，∵BD//CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵CD=BD，∴平行四边形BECD是菱形；
19. 解析：几何证明与计算题型，中等偏下难度题。
（1）易证△AED≌△CFB（SAS）、△AEB≌△CFD（SAS）、△AED≌△CFD（SAS），∴DE=BF、BE=DF、DE=DF，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形BEDF是菱形；
（2）连接BD交AC于点M，∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥AC，ME=MF，设MF=1，则EF=2，AC=6，∵四边形ABCD是正方形，∴BD=AC=6，∴DM=3，∴tan∠AFD=DM：MF=3：1=3.
20. 证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，
∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDCDC=CD，∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴▱ADCE是矩形．
21. 解析：正方形与旋转问题，考查正方形的性质及旋转性质。中等难度题。
（1）证：∵AO=BO(对角线的一半)，∠A OC1=∠B OD1 （直角+共角），
OD1= OC1（对角线的一半+旋转性质），∴∆AOC1≅∆BOD1（SAS）
（2）解析：几何问题中两条线段的关系包括两种，一种是位置关系，如垂直或平行；一种是数量关系，如相等或倍分关系。当题目没明确时，两种关系都必须论证，如此题.
解：AC1=BD1且AC1⊥BD1，理由：①∵∆AOC1≅∆BOD1，∴AC1=BD1
②仔细观察，设AC1与OD1交于点E，∆PED1与∆OEC1构成一个典型图形：“8”字模型，再运用“解题思路的延续性”展开思考。∵∆AOC1≅∆BOD1，∴∠PD1E=∠EC1O，∵∠PED1=∠OEC1，∴∠EPD1=∠EOC1=90°，∴AC1⊥BD1
22. 解析：（1）证明：过F作FH⊥BE于H点，在四边形BHFC中，∠BHF=∠CBH=∠BCF=90°
所以四边形BHFC为矩形，∴CF=BH，∵BF=EF，FH⊥BE∴H为BE中点，∴BE=2BH，∴BE=2CF
（2）猜想：四边形BFGN是菱形.证明：∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，∴EF=GF，∠GFE=90°
∴∠EFH+∠BFH+∠GFB=90°，∵BN∥FG∴∠NBF+∠GFB=180°，∴∠NBA+∠ABC+∠CBF+∠GFB=180°
∵∠ABC=90°，∴∠NBA+∠CBF+∠GFB=180°−90°=90°，由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH=∠CBF
∴∠EFH=90°−∠GFB−∠BFH=90°−∠GFB−∠CBF=∠NBA，由BHFC是矩形可得HF=BC，∵BC=AB∴HF=AB
在△ABN和△HFE中，∠NAB=∠EHF=90°，AB=HF，∠NBA=∠EFH，）
∴△ABN≌△HFE∴NB=EF，∵EF=GF∴NB=GF
又∵NB∥GF∴NBFG是平行四边形∵EF=BF∴NB=BF，
∴平行四边NBFG是菱形
23. 解析：压轴题，综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理、平行四边形的性质与判定、分类讨论的数学思想。
（1）解析：《期中考汇编》卷（9）第5题。讲义《特殊四边形的几个典型问题》例4.简单题。
①先证△AOE≌△COF(ASA)，得AE=FC,再运用垂直平分线的性质可得AE=EC,AF=FC,
∴AE=EC=FC=AF，∴四边形AFCE是菱形（四边都相等的四边形是菱形）
②垂直平分线就应该想到折叠问题，折叠问题必须想到方程思想（如图），解得AF=5cm
（2）解析：思路：①此题是属于几何动态问题与行程问题的结合题型，把握解题技巧---用t把知道的线段长标在图上；②此题涉及到平行四边形的分类讨论，八下讲义《平行四边形的动态问题》介绍了两种平行四边形的分类讨论方法，运用第一种方法---几何论证的方法（即先确定平行四边形的可能位置，再利用平行四边形性质解题）----来展开讨论。（注意分类讨论的技巧：坚持“得分优先”原则，先把简单的情况解决掉，再解决最难的那种情况）
由第（1）小题可得：AF=EC=5cm，BF=DE=3cm，AB=CD=4cm，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，
a.当P在AF上时，Q在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
b.当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形；
c.当P在BF上，Q在DE上时，此时A、C、P、Q四点可能构成平行四边形；（画出图，利用平行四边形的性质解方程求出t）
∵APCQ为平行四边形，∴PC=AQ,∴5t=12-4t，∴t=43
即当t=43秒时，A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
②解析：由于第②小题是直接写答案，不需要写证明过程，所以依“解题思路的延续性”，我们可取“若点P、Q的运动路程分别为a、b时”的特殊情况来找出a与b的关系，即第①小题“当点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm”时，点P、Q的运动路程分别为a、b。这样我们只需要把5t换成a，4t换成b，即把第①小题解题步骤中的“5t=12-4t”，换成“a=12-b”，便可很快找出a与b的等量关系式。
特别提醒：如果此小题改为“若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，写出a与b满足的数量关系式，并写出证明过程.”，就不能这么简单思考了。审题要注意此小题与第①小题的区别，第①小题有P、Q有速度的限制，所以平行四边形的分类讨论只有一种情况，但第②小题没有速度的限制，P、Q的位置就没有限制，那么A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形的情况就不止一种了。其余的按照“解题思路的延续性”，依第①小题分类讨论的思路展开思考就行。
解题过程：当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，有如下三种情况。（画出三种平行四边形的位置，依平行四边形的性质，分别写出每种位置a与b的数量关系式）.
第（1）种情况时，AP=CQ，即a=4+3+5-b，∴a+b=12;
第（2）种情况时，PC=AQ，即a=4+8-b，∴a+b=12;
第（3）种情况时，AP=CQ，即12-a=b，∴a+b=12;
综上所述，a与b满足的等量关系式是a+b=12
一.选择题（每小题3分共36分）
1. 一个菱形的两条对角线的长分别为5和8,那么这个菱形的面积是（ ）
A. 40 B. 20 C. 10 D. 25
2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法不正确的是（ ）
A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形 B.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
C.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 D.当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形
3. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
4. 四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. BA=BC B. AC、BD互相平分 C. AC=BD D. AB//CD
5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是（ A ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
7.下列说法错误的是（ ）
A. 矩形的四个角相等 B. 菱形的四条边相等
C. 菱形的对角线相等 D. 正方形的对角线互相平分且垂直
8.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB的长为
半径画弧，两弧交于点D，连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
9.如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A. 43 B. 4 C. 23 D. 2
10. 已知线段AB，BC，∠ABC=90°，求作：矩形ABCD，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①以点C为圆心，AB为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求（如图1）
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，
在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求（如图2）
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙对
11.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°,点E、F分别从点B、D同时以相同的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下四个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E、F分别为边BC,DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E、F分别为边BC,DC的中点时，△AEF的面积最大.正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
二.填空题
13.已知菱形的两条对角线长分别为12和16，则菱形的周长为___________
14.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，点D在线段AC上，∠A=30°，∠BDC=60°，BC=3，则AD=_____
15.如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，则∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为___________
16.如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于点F，连接AF，若AB=4，AD=6，则sin∠AFE=_________
三.解答题
17.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF.
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积。
18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:CE=AD；
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由。
19.（8分）如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE、DE、BF、DF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）求∠AFD的值.
20.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形.
21.在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°<θ<90°），连接AC1,BD1,相交于点P。
（1）求证：∆AOC1≅∆BOD1;(4分)
（2）请写出AC1与BD1的关系并给予证明。（4分）
22.如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG.
(1)求证：BE=2CF；
(2)试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明.
23.已知矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为0.
（1）如图1，连接AF、CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（4分）
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A---F---B---A停止，点Q自C---D---E---C停止，在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。（3分）
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出a与b满足的数量关系式.（2分）
答案详解
1. 解析：由菱形面积公式=对角线乘积的一半=5×8÷2=20，故选B
2. 解析：平行四边形+邻边相等+直角=正方形，故选D
3. 解析：矩形、菱形、正方形均是平行四边形，而平行四边形对角线互相平分，故选D
4. 解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选B
5. 解析：由中位线定理及矩形判定可判别，故选A
6. 解析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选B
7.解析：菱形的对角线垂直平分，但不一定相等，故选C
8. 解析：由作图痕迹可得AD=BC，CD=AB，两组对边相等的四边形是平行四边形，故选A
9. 解析：由题可知△ABD是等边三角形，AD=BD=4,设AC与BD交于点O，则DO=2，由勾股定理可得AO=23,故选A
10.解析：由作图痕迹可知两人的说法都正确，故 选A
11. 解析：多结论题型，压轴题。
解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC（直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半），∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；
②∵FB垂直平分OC，∴∠1=∠2=30°，∠3=30°，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵△FOB不会全等△OMB，∴△EOB不会全等△CMB，故②错误；
③∵△FOC≌△EOA，∴AE=FC，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵△OBF≌△OBE，∴BE=BF，∴平行四边形EBFD是菱形；故③正确；
④在直角△BOE中，∵∠3=30°，∴OB=3OE，∵∠2=30°，∴OB=23MB，∴3OE =23MB，∴MBOE=32，故④正确；所以其中正确结论的个数为①③④，故选C
12. 解析：①∵点E、F分别从点B、D同时以相同的速度沿边BC、DC向点C运动，∴BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE=AF,正确；②∵BE=DF,BC=CD,∴CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,正确
③连接AC，（菱形出现60°角时最常见的添辅助线方法），∵∠B=∠D=60°,∴△ABC、△ADC为等边三角形，∵E、F是BC、CD中点，∴∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=60°,由①的结论AE=AF,可得△AEF是等边三角形，正确；
④当E,F是中点时，S∆ABE=12S∆ABC, S∆ADF=12S∆ACD,即S∆ABE+S∆ADF=12S菱形ABCD,∴S∆AEF+S∆CEF=12S菱形ABCD, 即S∆AEF
13.解析： 菱形的周长为40
14.解析：如图解答
15. 解析：考查一次函数与几何综合，基础简单题。
由点A坐标可得出OA=5，即AB=5，∴B（8，4），∵OABC是菱形，∴OB即为∠AOC的角平分线，∴直线OB的解析式为：y=-0.5x
16. 解析：几何综合题型，填空压轴题。
解析：延长CE交BA的延长线于点M，作AP⊥CM于点P，易证△DEC∽△FCB，
则DE：CE=CF：CB，即3：5=CF：6，∴CF=3.6，∴EF=1.4，易证△DEC≌△AEM，∴AM=DC=4，ME=CE=5，在直角三角形AME中，根据射影定理可得：AE²=PE· ME，∴PE=1.8，∴PF=3.2，∵AM·AE=ME·AP，∴AP=2.4，由勾股定理可得AF=4，∴sin∠AFE=AP：AF=0.6
17. 解析：（1）证△ABE≌△CDF（SAS）便可得AE=CF
（2）∵∠AOD=120°，∴∠ACB=30°，∴BC=3AB=33，∴S矩形ABCD=93
18. 解析：考查特殊多边形的性质与判定，基础简单题。
（1）易证CE//AD，DE//AC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由是：
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得：CD=AD=BD，∵AD=CE，∴BD=CE，∵BD//CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵CD=BD，∴平行四边形BECD是菱形；
19. 解析：几何证明与计算题型，中等偏下难度题。
（1）易证△AED≌△CFB（SAS）、△AEB≌△CFD（SAS）、△AED≌△CFD（SAS），∴DE=BF、BE=DF、DE=DF，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形BEDF是菱形；
（2）连接BD交AC于点M，∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥AC，ME=MF，设MF=1，则EF=2，AC=6，∵四边形ABCD是正方形，∴BD=AC=6，∴DM=3，∴tan∠AFD=DM：MF=3：1=3.
20. 证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，
∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDCDC=CD，∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴▱ADCE是矩形．
21. 解析：正方形与旋转问题，考查正方形的性质及旋转性质。中等难度题。
（1）证：∵AO=BO(对角线的一半)，∠A OC1=∠B OD1 （直角+共角），
OD1= OC1（对角线的一半+旋转性质），∴∆AOC1≅∆BOD1（SAS）
（2）解析：几何问题中两条线段的关系包括两种，一种是位置关系，如垂直或平行；一种是数量关系，如相等或倍分关系。当题目没明确时，两种关系都必须论证，如此题.
解：AC1=BD1且AC1⊥BD1，理由：①∵∆AOC1≅∆BOD1，∴AC1=BD1
②仔细观察，设AC1与OD1交于点E，∆PED1与∆OEC1构成一个典型图形：“8”字模型，再运用“解题思路的延续性”展开思考。∵∆AOC1≅∆BOD1，∴∠PD1E=∠EC1O，∵∠PED1=∠OEC1，∴∠EPD1=∠EOC1=90°，∴AC1⊥BD1
22. 解析：（1）证明：过F作FH⊥BE于H点，在四边形BHFC中，∠BHF=∠CBH=∠BCF=90°
所以四边形BHFC为矩形，∴CF=BH，∵BF=EF，FH⊥BE∴H为BE中点，∴BE=2BH，∴BE=2CF
（2）猜想：四边形BFGN是菱形.证明：∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，∴EF=GF，∠GFE=90°
∴∠EFH+∠BFH+∠GFB=90°，∵BN∥FG∴∠NBF+∠GFB=180°，∴∠NBA+∠ABC+∠CBF+∠GFB=180°
∵∠ABC=90°，∴∠NBA+∠CBF+∠GFB=180°−90°=90°，由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH=∠CBF
∴∠EFH=90°−∠GFB−∠BFH=90°−∠GFB−∠CBF=∠NBA，由BHFC是矩形可得HF=BC，∵BC=AB∴HF=AB
在△ABN和△HFE中，∠NAB=∠EHF=90°，AB=HF，∠NBA=∠EFH，）
∴△ABN≌△HFE∴NB=EF，∵EF=GF∴NB=GF
又∵NB∥GF∴NBFG是平行四边形∵EF=BF∴NB=BF，
∴平行四边NBFG是菱形
23. 解析：压轴题，综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理、平行四边形的性质与判定、分类讨论的数学思想。
（1）解析：《期中考汇编》卷（9）第5题。讲义《特殊四边形的几个典型问题》例4.简单题。
①先证△AOE≌△COF(ASA)，得AE=FC,再运用垂直平分线的性质可得AE=EC,AF=FC,
∴AE=EC=FC=AF，∴四边形AFCE是菱形（四边都相等的四边形是菱形）
②垂直平分线就应该想到折叠问题，折叠问题必须想到方程思想（如图），解得AF=5cm
（2）解析：思路：①此题是属于几何动态问题与行程问题的结合题型，把握解题技巧---用t把知道的线段长标在图上；②此题涉及到平行四边形的分类讨论，八下讲义《平行四边形的动态问题》介绍了两种平行四边形的分类讨论方法，运用第一种方法---几何论证的方法（即先确定平行四边形的可能位置，再利用平行四边形性质解题）----来展开讨论。（注意分类讨论的技巧：坚持“得分优先”原则，先把简单的情况解决掉，再解决最难的那种情况）
由第（1）小题可得：AF=EC=5cm，BF=DE=3cm，AB=CD=4cm，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，
a.当P在AF上时，Q在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
b.当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形；
c.当P在BF上，Q在DE上时，此时A、C、P、Q四点可能构成平行四边形；（画出图，利用平行四边形的性质解方程求出t）
∵APCQ为平行四边形，∴PC=AQ,∴5t=12-4t，∴t=43
即当t=43秒时，A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
②解析：由于第②小题是直接写答案，不需要写证明过程，所以依“解题思路的延续性”，我们可取“若点P、Q的运动路程分别为a、b时”的特殊情况来找出a与b的关系，即第①小题“当点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm”时，点P、Q的运动路程分别为a、b。这样我们只需要把5t换成a，4t换成b，即把第①小题解题步骤中的“5t=12-4t”，换成“a=12-b”，便可很快找出a与b的等量关系式。
特别提醒：如果此小题改为“若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，写出a与b满足的数量关系式，并写出证明过程.”，就不能这么简单思考了。审题要注意此小题与第①小题的区别，第①小题有P、Q有速度的限制，所以平行四边形的分类讨论只有一种情况，但第②小题没有速度的限制，P、Q的位置就没有限制，那么A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形的情况就不止一种了。其余的按照“解题思路的延续性”，依第①小题分类讨论的思路展开思考就行。
解题过程：当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，有如下三种情况。（画出三种平行四边形的位置，依平行四边形的性质，分别写出每种位置a与b的数量关系式）.
第（1）种情况时，AP=CQ，即a=4+3+5-b，∴a+b=12;
第（2）种情况时，PC=AQ，即a=4+8-b，∴a+b=12;
第（3）种情况时，AP=CQ，即12-a=b，∴a+b=12;
综上所述，a与b满足的等量关系式是a+b=12
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