专题07 概率与统计（模块测试）（解析版）

 专题07 概率与统计（模块测试）
一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品为事件，
仅第二个实习生加工一等品为事件两种情况，
则，
故选：B．
2、（2021年江苏金陵中学学情调研）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】：C
【解析】因为P(X≤90)＝P(X≥120)＝0.2，所以P(90≤X≤120)＝1－0.4＝0.6，所以P(90≤X≤105)＝P(90≤X≤120)＝0.3，所以数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．
3、（2020届浙江省温州市高三4月二模）做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.
故选：.
4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足，则Y的方差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，则，
则，
所以．
故选：D
5、（江苏金沙中学中学上学期期末）对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示：根据表格，利用最小二乘法得到回归直线方程为，则（ ）

2
4
5
6
8

20
40
60
70

A.85.5 B.80 C.85 D.90
【答案】B
【解析】∵=5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，
∴=54，
∴55×4=20+40+60+70+m，
∴m=80，
故选：B．
6、（2020·江苏省南京外国语期末）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题得,
所以.故选：C.
7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）

厨余垃圾”箱
可回收物”箱
其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
【答案】D
【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率；
可回收物投放正确的概率；其他垃圾投放正确的概率．
对A，厨余垃圾投放正确的概率为，故A正确；
对B，生活垃圾投放错误有，故生活垃圾投放错误的概率为，故B正确；对，该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故C正确．
对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数，
可得方差，故D错误；
故选：D．
8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下：
X
-1
0
1

Y
-1
0
1
P




P
a
b
c
若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，，所以，即，又，故
，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，则，，
，
列出随机变量的分布列如下：

-1
0
1
P



所以.
故选：B.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）
9、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测

由上图提供的信息可知
A．运营商的经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势
【答案】：ABD
【解析】：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C错误，
故选ABD．
10、（2021年江苏金陵中学学情调研）下列说法中正确的是( )
A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3
D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大
【答案】：ABD
【解析】：设随机变量X~B，则P(X＝3)＝C3×3＝，A正确；
因为随机变量ξ~N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x＝2，因为P(X＜4)＝0.9，所以P(0＜X＜4)＝0.8，所以P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B正确；
E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故C不正确；
由题意可知，E(ξ)＝1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜时，E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大，故D正确．
11、（2020届山东省德州市高三上期末）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
附表：






附：
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：

男生
女生
合计
喜欢抖音



不喜欢抖音



合计



则，
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，
即，得，
，则的可能取值有、、、，
因此，调查人数中男生人数的可能值为或.
故选：BC.
12、（2020·江苏省南京师范附属中学高三期末）若随机变量，，其中，下列等式成立有( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】

随机变量服从标准正态分布，
正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A.，所以该命题正确；
B.，所以错误；
C.，所以该命题正确；
D.或，所以该命题错误．故选：．
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知随机变量，，则__________．
【答案】0.1
【解析】
因为随机变量服从正态分布,
所以曲线关于对称,
因为,
所以
故答案为：0.1
14、（甘肃省师大附中2017-2018学年下学期高三期末）为了了解司机开车时礼让斑马线行人的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计数据：

礼让斑马线行人
不礼让斑马线行人
男性司机人数
40
15
女性司机人数
20
25
若以为统计量进行独立性检验，则的值是__________.（结果保留2位小数）
参考公式
【答案】
【解析】填写2×2列联表，如下：

根据数表，计算=≈8.25＞7.879，
所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
15、（2020·厦门一中开学考试）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】0.18
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
16、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知随机变量的分布列如下：

1
2
3




则___，方差___．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
，，，，
，
综上，，.
故答案为：；.
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）
17、（2020届江苏省启东市高三下学期期初考）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.
【解析】（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
故X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P




所以.
18、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：
是否达标
性别
不达标
达标
男生
36
24
女生
10
30
（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?
附：．
P(≥k)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）假设H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得
χ2＝＝≈11.836＞6.635，
因为当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，
所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关．
（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；
事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．
由题意知：P(A)＝＝，P(B)＝＝．
随机变量X的取值可能为0，1，2，3．
P(X＝0)＝(1－)2×(1－)＝，
P(X＝1)＝C××(1－)×(1－)＋×(1－)2＝，
P(X＝2)＝()2×(1－)＋C××(1－)×＝，
P(X＝3)＝()2×＝．
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.55．
19、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月、两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了人，发现样本中、两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式


大于
仅使用
人
人
人
仅使用
人
人
人
（1）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由.
【解析】（1）仅使用支付方法的名学生中，
金额不大于的人数占，金额大于的人数占，
仅使用支付方法的学生中，金额不大于的人数占，金额大于的人数占，
且的所有可能值为、、.
则，，，
所以分布列为：








数学期望；
（2）无法确定是否有变化，理由如下：
记事件“从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元.”
假设样本仅使用的学生中，本月支付金额大于元的人数没有变化，
则由上个月数据得，.
我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化.
20、（2021年江苏金陵中学学情调研）成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．


拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识



不具有很强安全意识
58


总计


200
(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．
补全的2×2列联表如表所示：

拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识
22
18
40
不具有很强安全意识
58
102
160
总计
80
120
200
计算得K2＝＝＝4.6875＞3.841，
所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关．
(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，所以X＝0，1，2，3，4，且X~B．
于是P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0，1，2，3，4)，X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






所以E(X)＝4×＝．
答：X的数学期望为．
21、（2020届山东省潍坊市高三上期末）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于分钟的有人

(1)求的值;
(2)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“读书之星”与性别有关?

非读书之星
读书之星
总计
男



女



总计



(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取名学生，每次抽取名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量，求的分布列和期望
附：，其中.














【解析】（1）
解得：，所以.
(2)因为，所以“读书之星”有
从而列联表如下图所示:

非读书之星
读书之星
总计
男



女



总计



将列联表中的数据代入公式计算得

因为，所以没有以上的把握认为“读书之星”与性别有关
(3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.
由题意可知
所以，，
，，
所以的分布列为










故.
22、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积（单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间（单位：月）
8
10
13
25
24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50

（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望．
参考公式：

其中．临界值表：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据：
【解析】(1)依题意：
故

则，
故管理时间与土地使用面积线性相关．
（2）依题意，完善表格如下：

愿意参与管理
不愿意参与管理
总计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
总计
200
100
300
计算得的观测值为

故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故

故的分布列为
X
0
1
2
3
P




则数学期望为
（或由，得