专题05 解析几何（模块测试）（解析版）

 专题05 解析几何（模块测试）
一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题,离心率,解得,
因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即
故选：C
2、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为
A．2 B．4 C． D．
【答案】：A
【解析】：双曲线C：的一条渐近线为，
则，解得，，故选A．
3、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，
又由圆，可得圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则，可得，
故选C.
4、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
5、（2021年江苏金陵中学学情调研）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】：B
【解析】：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．
在Rt△ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x．
6、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】：C
【解析】：设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2，
∴，整理得：，故选C
7、（2021年江苏金陵中学学情调研）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，] C．(0，] D．(，]
【答案】：C
【解析】：设椭圆的左焦点为F'，根据椭圆的对称性可得|AF'|＝|BF|，|BF'|＝|AF|，所以|AF'|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3．
因为点P到直线l的距离不小于，所以≥，解得b≥2．
又b＜a，所以2≤b＜3，故≤＜1．
所以离心率e＝＝∈(0，]．
8、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）分别将椭圆的长轴、短轴和双曲线的实轴、虚轴都增加个单位长度（），得到椭圆和双曲线．记椭圆和双曲线的离心率分别是，则（ ）
A．， B．，与的大小关系不确定
C．， D．，与的大小关系不确定
【答案】B
【解析】设，则，
，
因为，由比例性质可知，所以；
，，
因为与1的大小不确定，所以和的大小也不确定，
即无法判断，，大小.综上，，与的大小关系不确定.
故选：B.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）
9、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；
A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，
所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；
故选：ABC.
10、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，（抛物线定义），C选项正确；
，，D选项错误.
故选：ABC.
11、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.
12、（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象不经过第一象限
B．在上单调递增
C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为
D．函数不存在零点
【答案】ACD
【解析】当，方程是不表示任何曲线，故A正确；
当 ，方程是，即 ，
当 ，方程是 ，即，
当 ，方程是，即 ，
如图画出图象

由图判断函数在上单调递减，故B不正确；
由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在的图象上，
即满足 ，设图象上的点

当时取得最小值3，故C正确；
当 ，即 ，
函数的零点，就是函数 和的交点，
而是曲线，和的渐近线，所以没有交点，由图象可知和，没有交点，
所以函数不存在零点，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与圆相交于、两点，则__________.
【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，
所以弦长：.
故答案为：
14、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】
【解析】首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为y＝2x﹣4，y＝﹣2x﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．
15、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知直线：被圆：截得的弦长为，则______，圆上到直线的的距离为1的点有______个.
【答案】 3
【解析】由题意得：圆心，
则圆心到直线的距离，
解得；
因为，，
则圆上到直线的距离为1的点应有3个.
故答案为：；3．
16、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P为双曲线C：右支上一点，，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，，成等比数列，则______.
【答案】6
【解析】,，，
，，成等比数列,，
解得，
故答案为：
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）
17、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：．
（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
【解析】（1）因为椭圆C：＋y2＝1，所以F1(－，0)，F2(，0)．
设T(x0，y0)，则 ·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x02＋y02－3．
因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即＋y02＝1，所以·＝x02－2，且x02∈[0，4]，
所以·的取值范围是[－2，1]．
（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)．
设B(x1，y1)，Ｄ(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即 ·＝0，
因此 (y1＋1)( y2＋1)＋x1x2＝0，即(kx1＋m＋1)( kx2＋m＋1)＋x1x2＝0，
从而 (1＋k2) x1x2＋k(m＋1)( x1＋x2)＋(m＋1)2＝0，
即 (1＋k2)×－k(m＋1)×＋(m＋1)2＝0，
也即 4(1＋k2)( m－1)－8k2m＋(1＋4k2) (m＋1)＝0，
解得m＝．
又线段BD的中点M(－，)，且AM⊥BD，
所以＝－，即3m＝1＋4k2，解得k＝±．
又当k＝±，m＝时，△＝64k2m2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝＞0，
所以满足条件的直线l的方程为y＝±x＋.
18、（2021年江苏金陵中学学情调研）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点(1，)在椭圆C上，点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线过右焦点F2且与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(t，0)使得·为定值?如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
【解析】(1)因为点(1，)在椭圆C上，所以＋＝1．
又点A(－3c，0)满足以AF2为直径的圆过椭圆的上顶点B，所以AB⊥BF2，即·＝(3c，b)·(c，－b)＝0，即b2＝3c2．
又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3．
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)易得右焦点F2(1，0)，假设存在点P(t，0)满足要求．
①当直线MN的斜率不为0时，设直线MM的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立整理可得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＋y2＝，y1·y2＝，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝，x1x2＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝＋＋1＝．
因为·＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝－＋t2－＝＝．

要使·为定值，则＝，解得t＝，此时·＝－为定值．
②当直线MM的斜率为0时，则M(－2，0)，N(2，0)，P(，0)，此时·＝(－2－，0)·(2－，0)＝－．
综上，所以存在P(，0)，使·为定值．
19、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）已知直线为椭圆的右准线，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.

（1）设点在直线上，且满足，若直线与线段交于点，求证：点为线段的中点；
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，椭圆的右准线方程为，点坐标.
①当直线的斜率不存在时，直线与线段交点即为右焦点，此时点为线段的中点.
②又由知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
从而，直线的方程为，令得，点坐标为，
故直线的方程为.
联立方程组，消去得：，
设，，则，
即，，
从而，线段的中点.
又线段的中点的坐标满足直线方程，
所以，直线与线段交点为线段的中点.
综上可知，点为线段的中点.
（2）当直线的斜率为0时，点即为点，从而，故.
直线的斜率不为0时，

由（1）知，，，
所以，则.
直线的方程为，又，
令，得，
所以点的坐标为，纵坐标与点相等。
即，所以.
综上可知，为定值0.
20、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知圆，过定点作斜率为的直线交圆于两点，为的中点．
（1）求实数的值；
（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值．
【答案】（1）．（2）
【解析】（1）由得
因为为的中点，所以在圆内且．
所以，解得．
（2）由（1）得圆，
即，所以圆心，半径．
设点坐标为，因为为圆的切线，所以，
所以
又，所以，
则，整理，得．
由于故取最小值即取最小值，
点到圆的圆心距离，
所以，的最小值为，所以，的最小值为．
21、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．
【解析】（1）由解得或（舍去），
∴，又，，
又，，，
椭圆E的方程为；
（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，
由得，
∴，
=
，
∴，
=，
直线BP的方程为，令解得，则，
同理可得，
=
==，
为定值．
22、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.
【解析】（1）设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,,
所以,所以,
又,,解得,,
所以椭圆的标准方程为
（2）设点,则,,
联立,得,
所以,,
因为为锐角,所以,
所以
,
解得或.