专题13 综合测试06（解析版）

专题13 综合测试05
一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1、（2021年南通开学初模拟）记全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则＝
A．[4，) B．(1，4] C．[1，4) D．(1，4)
【答案】：C
【解析】∵集合A＝，
∴，又∵B＝，
∴＝[1，4)，故选C．
2、（2021年沭阳模拟）《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为

A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】：P＝，故选C．
3、（2021年淮阴中学模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【答案】A
【解析】因为，所以由函数的图象得到函数的图象，只需向左平移个单位．
4、（2021年南通开学初模拟）我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】：B
【解析】有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，，故选B．

5、（江苏徐州模拟）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是

A． B．
C． D．

【答案】A
【解析】由题图知函数的定义域为R且为奇函数，所以排除C，D选项；B选项中，，则，不满足原点处切线斜率为0，排除B选项；A选项中，，则符合题意．
6、（2021Ian南京金陵中学模拟）(x－1)(2x＋1)10的展开式中x10的系数为( )
A．－512 B．1024 C．4096 D．5120
【答案】：C
【解析】：展开式中x10的项为xC(2x)9－C(2x)10＝(C·29－C·210)x10，
所以，展开式中x10的系数为C·29－C·210＝4096．
7、（2021年盐城中学模拟）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，] C．(0，] D．(，]
【答案】：C
【解析】设椭圆的左焦点为F'，根据椭圆的对称性可得|AF'|＝|BF|，|BF'|＝|AF|，所以|AF'|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3．
因为点P到直线l的距离不小于，所以≥，解得b≥2．
又b＜a，所以2≤b＜3，故≤＜1．
所以离心率e＝＝∈(0，]．
8、（2021年苏州联考）对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是
A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)
【答案】：B
【解析】是单调增函数，故，故a，b是方程的两个根，令，，当k＞2，x＝时，有最小值为，解得k＞e＋2，故选B．
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）
9、（2021年辽宁联考）下列说法正确的是
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5
【答案】：BD
【解析】：选项A，方差变为原来的a2倍，故A错误；线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C错误，故选BD．
10、（2021年南通开学初考试）已知等差数列是递增数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是
A． B．
C．当时，最小 D．当时，的最小值为8
【答案】ABD
【解析】因为是递增数列，所以．因为，所以，所以，所以，故A，B正确；又因为，所以，且为的最小值，故C错误；又,，故D正确．
11、（2021年宿迁联考）已知抛物线C：过点P(1，1)，则下列结论正确的是
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0
D．过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值
【答案】：BCD
【解析】∵抛物线C：过点P(1，1)，∴，∴，故该抛物线焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝，故点P到抛物线焦点的距离为，故A错误；△OPQ的面积，故B正确；设过点P的直线方程为，与抛物线联立并化简得，，解得k＝，故过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0，C正确；设PM的斜率为k，则PN的斜率为﹣k，求得M(，)，N(，)，求得MN的斜率为，D正确，故选BCD．
12、（2021年南通开学初考试）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间[1，2020]为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是
A． B． C．0 D．
【答案】AB
【解析】由题意得与在区间[1，2020]上同增或同减．若同增，则在区间[1，2020]上恒成立，即所以 若同减，则在区间[1，2020]上恒成立，即无解，所以A，B选项符合题意．
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知，则的值为________．
【答案】
【解析】原式,又∵，
∴原式，
故答案为：.
14、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
【答案】①④
【解析】对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又，所以平面PAB，从而可得，故①正确．
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
对于④，由条件得为直角三角形，且PA⊥AD，又，所以∠PDA=45°．故④正确．
综上①④正确．
答案：①④
15、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【答案】-2
【解析】因为图像关于对称，则，
，
故是以8为周期的周期函数，


故答案为：.
16、（2020·全国高三专题练习（文））设点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离为__________．
【答案】
【解析】由题,过点作曲线的切线,则,设点,则,
当切线与直线平行时点到该直线距离最小,则,即,
所以点为,则点到直线的最小距离为,
故答案为：
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）
17、（2021年南通期中）现给出两个条件：①2c-3b＝2acosB，②（2b-3c）cosA=3acosC．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若有_______，
（1）求A；
（2）若a=3-1，求△ABC面积的最大值．
【解析】选择条件：①2c-3b＝2acosB，
（1）由余弦定理可得2c-3b＝2acosB＝2a•a2+c2-b22ac， 2分
∴整理可得c2+b2﹣a2=3bc，可得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32， 4分
∵A∈（0，π），∴A=π6． 5分
（2）∵a=3-1，A=π6，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得（3-1）2＝b2+c2﹣2bc•32， 7分
∴4﹣23=b2+c2-3bc≥2bc-3bc，可得bc≤2， 9分
∴S△ABC=12bcsinA≤12×2×12=12，即△ABC面积的最大值为12． 10分
选择条件：②（2b-3c）cosA=3acosC．
（1）由题意可得2bcosA=3acosC+3ccosA， 2分
∴2sinBcosA=3（sinAcosC+sinCcosA）=3sin（A+C）=3sinB，
∵sinB≠0，∴可得cosA=32， 4分
∵A∈（0，π），∴A=π6． 5分
（2）∵a=3-1，A=π6，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得（3-1）2＝b2+c2﹣2bc•32， 7分
∴4﹣23=b2+c2-3bc≥2bc-3bc，可得bc≤2， 9分
∴S△ABC=12bcsinA≤12×2×12=12，即△ABC面积的最大值为12． 10分

18．（2020年南京金陵中学期中）已知数列的前项和，.
（1）求；
（2）若，且数列的前项和为，求.
【解析】（1）由已知可得，2Sn＝3an－1， ①
所以2Sn－1＝3an－1－1 （n≥2）， ② 2分
①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，
化简为an＝3an－1（n≥2），即 4分
在①中，令n＝1可得，a1＝1， 所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
从而有an＝3n－1． 6分
（2）bn＝(n－1)·3n－1，
Tn＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n－1)·3n－1， ③
则3Tn＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n． ④ 8分
③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)·3n，
- 12分
所以，

19、（江苏省如皋中学期中模拟）如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°, PA⊥平面ABCD，
PA＝3,AB＝2,BC＝6．
D
C
B
A
P
(1) 求异面直线PB与AC所成角的余弦值；

(2)若二面角P－BD－C的大小为，求AD的长．
【解析】：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为AD∥BC,∠ABC＝90°, 所以AB⊥AD．
以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xOy，
则B(2，0，0)， C(2，6，0)，P(0，0，3)
（1）＝(2，0，－3)， ＝(2，6，0)，
所以cos＜，＞＝＝，
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为．------------------------------------6分
（2）设AD＝a(a＞0)，则D(0，a，0)，所以＝(－2，a，0)，
设平面PBD的法向量＝(x，y，z)，
则，即，取x＝，则y＝，z＝2，则＝(，，2)．
又平面BCD的一个法向量＝(0，0，1)，二面角P－BD－C的大小为，
所以||＝，即||＝，解得a＝2．
经检验，当AD＝2，二面角P－BD－C的大小为．------------------------12分
20、（辽宁2021届高三上学期10月联考） 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
课 程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率




（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需列式无需计算）及期望．

【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事件相互独立， ………2分
. ……5分
(2)， ，
,
因此，的分布列如下：










………9分
因为～ ………10分
所以 ………12分
21、（2021年徐州期中考试）（12分）已知函数．
（1）求函数在上的最小值；
（2）若恒成立，求实数的值．
【解析】（1）因为，当且仅当时，，
所以在上是增函数，
所以在上的最小值为．…………………………………4分
（2）设，
则．
①当时，当时，由（1）知，
而，所以不恒成立．………………………6分
②当时，，当时，，当且仅当时，，
所以在上是减函数，
所以，即不恒成立．……………………………8分
③当时，，
当时，，当且仅当时，，
所以在上是增函数，
所以，即不恒成立．……………………………10分
④当时，，，
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
所以，即恒成立．
综上所述，实数的值为．………………………………………………12分
22、（2021年徐州联考）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于第一象限内的点，连接并延长交椭圆于另一点，点，若为锐角，求的面积的取值范围．
【解析】（1）由题意知， 解得
所以椭圆的方程为．…………………………………………3分
（2）由题意可设直线的方程为，
联立 消去并整理得，，
设，，则，，……5分
所以的面积

，
当且仅当时，取等号，此时为锐角，符合题意．………9分
由为锐角可知，，即，
即，即，解得，
由函数的单调性可知，．
所以的面积的取值范围为．…………………12分