（新高考）2021届高三培优专练4 抽象函数及应用解析版

培优4  抽象函数及应用一、抽象函数单调性的应用例1：（多选题）函数为奇函数且当时，单调递减，若，则下列满足不等式的实数的取值范围有（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】依题意，是单调递减函数，，解得．二、抽象函数奇偶性的应用 例2：已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，且的零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除B、D；又，∴，，∴，，∴的零点至少为，，，共个．三、抽象函数周期性的应用例3：已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，∴函数周期为．∵，，，，∴，∴．                              增分训练一、选择题1．命题：若存在且，对任意的，有恒成立；已知命题：单调递减，且恒成立；命题：单调递增，且存在使．则下列说法正确的是（    ）A．，都是的充分条件 B．，都不是的充分条件C．只有是的充分条件 D．只有是的充分条件【答案】A【解析】若成立，取，则，取，则，故成立，所以是的充分条件；若成立，取，使，由于且单调递增，取，有，即，所以是的充分条件．2．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵为上奇函数，在单调递减，∴，在上单调递减．∵，∴，由，得或，解得或，∴的取值范围是，∴选D．3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，又由在上单调递增，则有，故选C．4．设函数对不为零的一切实数均有，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，把代入得①，把代入得②，∴．5．函数为定义在上的奇函数，当时，单调递增．若，则满足的的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数为定义在上的奇函数，由，可知，当时，函数单调递增，∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递增，由，可得，即．6．设是定义在上的增函数，，那么必为（    ）A．增函数且是奇函数  B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数  D．减函数且是偶函数【答案】A【解析】∵，∴为定义在上的奇函数，设，则，∵，∴，∵为定义在的增函数，∴，，∴，∴为定义在上的增函数，综上所述：必为增函数且为奇函数．7．（多选题）若，分别为定义在上的奇函数，偶函数，则（    ）A．为奇函数 B．为奇函数C．为偶函数  D．为偶函数【答案】BCD【解析】对于A选项，，不满足题意；对于B选项，，满足题意；对于C选项，，满足题意；对于D选项，，满足题意．8．（多选题）函数定义域为，满足：存在，，对任意，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】令，．若，对任意，，不符合题意，故，，令，，又，∴，，故选B、D． 二、填空题9．设，若存在定义域为的函数满足：①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】考虑，关于的方程无实数解，则，故且，注意此为必要条件．同时构造出是满足条件的函数，故．10．把函数的图象向右平移_______个单位得到函数的图象．【答案】【解析】由于函数，故把函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象．11．已知定义在上的偶函数在上单调递减，．若，则的取值范围为________．【答案】【解析】因为，，所以．又偶函数在上单调递减，所以可化为，所以，解得．12．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则__________．【答案】【解析】由是偶函数得，又是定义在上的奇函数，所以，即，所以，即，所以，，因此．13．已知函数是上的奇函数，则函数的图象经过的定点为__________．【答案】【解析】函数是上的奇函数，根据奇函数性质可知，过，向右平移个单位，向上平移个单位，可得，所以过的定点为．14．已知函数为奇函数，若，则__________，__________．【答案】2，3【解析】因为函数为奇函数，且，，所以，所以．所以．