（新高考）2021届高三培优专练18 圆锥曲线综合解析版

培优18  圆锥曲线综合一、圆锥曲线的定点定值问题例1：椭圆的离心率是，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，定点为．【解析】（1）∵，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）当直线斜率存在时，设直线方程，由，得，，设，，，假设存在定点符合题意，∵，∴，∴．∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴；当直线斜率不存在时，，两点分别为椭圆的上下顶点，，显然此时，综上，存在定点满足题意．二、圆锥曲线的最值和范围问题 例2：已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点，，求弦长的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设圆的半径为，由题意可知，点满足，，∴．由椭圆定义知点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，进而，故轨迹的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，，或，，此时弦长；当直线斜率存在时，设的方程为，由，消去，得，由恒成立，设，，∴，，．令，则，，．当时，此时，，综上，弦长的最大值为．增分训练  一、选择题1．（多选题）已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ）A．的焦距为  B．的离心率为C．圆在的内部  D．的最小值为【答案】BC【解析】∵，∴，，∴，则的焦距为，，设，则，所以圆在的内部，且的最小值为，故选BC． 二、填空题2．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相切且，则直线的方程为       ；为上的动点，则的最小值是        ．【答案】，【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为，由于直线的斜率为，故直线方程为，即，由，解得，，设直线的方程为，由，化简得，由于直线与抛物线相切，判别式，解得，故直线的方程为．设直线上任意一点的坐标，代入，得，当时取得最小值为． 三、简答题3．已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，．（1）求抛物线的方程；（2）设直线交于，两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）；（2）点到轴距离的最小值为，直线的方程为．【解析】（1）设，联立方程，得，由，得，，∴，解得，故抛物线的方程为．（2）由已知可得，直线斜率不为，故可设直线的方程为，，．由，得，，，，∴，得，∴，当且仅当，即时取等号，点到轴距离的最小值为，此时，，∴直线的方程为．4．在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设，由已知，∴，∴，化简得点的轨迹的方程为．（2）由（1）知，过点的直线的斜率为时与无交点，不合题意；故可设直线的方程为，代入的方程得．设，，则，，．∴直线，令，得，直线过轴上的定点．5．已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点非长轴端点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，解得，∵，，，，故椭圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，设，，，，点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，，综上，面积的最大值为．6．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，因为，不妨设点，代入椭圆方程得，又因为，所以，，所以，，所以的方程为．（2）依题设，得直线的方程为，即，设，，，由切线的斜率存在，设其方程为，联立，得，由相切得，化简得，即，因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，又，所以直线的方程可化为，即，令，得，所以直线恒过定点．