（新高考）2021届高三培优专练13 数列求和的方法解析版

培优13  数列求和的方法一、错位相减法例1：已知等比数列是递增数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公比为，，，得，，∴数列的通项公式为．（2）由，，得，∴，①则，②②-①，得，即．二、裂项想消法例2：在等差数列中，，公差，记数列的前项和为．（1）求；（2）设数列的前项和为，若，，成等比数列，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴，∴，∴，∴，．（2）若，，成等比数列，则，即，∴，∵，∴．  增分训练 一、选择题1．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，记，则，又，两式相加可得，则．2．在数列中，若，且对任意的有，则数列前项的和为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，则．∴，，，，∴，∴，则．3．已知数列满足：，则的前项的和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，；，；，．第一个式子和第二个式子相减，得到；第二个式子和第三个式子左右两边相加得到，故．4．已知数列与前项和分别为，，且，，，，对任意的，恒成立，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以当时，，解得，当时，，所以，于是，由，可得，所以是首项为，公差为的等差数列，即，所以，所以，因为对任意的，恒成立，所以，即的最小值是．5．（多选题）已知正数数列是公比不等于的等比数列，且，若，则关于的结果错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】∵正数数列是公比不等于的等比数列，且，∴，，∵函数，∴，，令，则，∴，∴，故选ABD．6．（多选题）已知数列满足，，则下列结论正确的有（    ）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递减数列  D．的前项和【答案】ABC【解析】因为，所以，又，所以是以为首项，位公比的等比数列，，即，为递减数列，的前项和，故选ABC． 二、填空题7．在数列中，，，，则的值为______，数列的前项和为______．【答案】，【解析】由题意，∴，∴．，，∴．8．已知数列满足，且，则        ，数列满足，则数列的前项和        ．【答案】，【解析】由，得，所以为等差数列，公差首项都为，由等差数列的通项公式可得，，，，①，②②①，得到，故答案为，． 三、解答题9．已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的满足关系式．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正数，总有．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知得时，，故，故数列为等比数列，且公比，又当时，，∴，∴．（2），∴．10．设为等差数列的前项和，其中，且．（1）求常数的值，并写出的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值．【答案】（1），；（2）4．【解析】（1）由及，得，，∵数列是等差数列，∴，解得，∴，∴公差，∴，（2）由（1）知，∴．∴，①∴，②①②，得，∴，由，得，设，则，∵，∴，即数列{}单调递减，又，，，∴当时，恒有，故存在时，使得对任意的，都有成立．