（新高考）2021届高三培优专练20 离散型随机变量的期望解析版

培优20  离散型随机变量的期望一、根据二项分布求概率例1：设随机变量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为随机变量，，所以，则，因为，即，解得，随机变量中，，故选A．二、由随机变量X的分布列求概率 例2：若随机变量的分布列为，则________．【答案】【解析】由题可知，故答案为．三、离散型随机变量及其分布列的综合 例3：已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则．（2）的可能取值为，，，．故的分布列为XP ．增分训练 一、选择题1．已知件产品中有件次品，从中任取件，取到次品的件数为随机变量，用表示，那么的取值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，件产品中有件次品，从中任取件，取到次品的件数为随机变量，可得随机变量，的取值可以是，故选C．2．已知下列随机变量：①件产品中有件次品，从中任选件，取到次品的件数；②一位射击手对目标进行射击，击中目标得分，未击中目标得分，用表示该射击手在一次射击中的得分；③刘翔在一次米跨栏比赛中的成绩；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数．其中是离散型随机变量的是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④【答案】C【解析】③中的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．3．已知参加年某省夏季高考的万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（    ）(附：，则，)A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，这些考生成绩落在的人数约为，故选B．4．若随机变量的分布列如下表：01230．10．20．20．30．10．1则当时，实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以实数的取值范围为，故选C．5．从标的支竹签中任取支，设所得支竹签上的数字之和为，那么随机变量可能取的值有（    ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】支竹签上的数字是中的两个，若其中一个为，另一个可取，相应可取得，同理一个为，另一个可取，相应可取得，以此类推，可看到可取得间的所有整数，共个．6．从装有除颜色外没有区别的个黄球、个红球、个蓝球的袋中摸个球，设摸出的个球的颜色种数为随机变量，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即摸出的个球有种颜色，其中一种颜色的球有个，另一种颜色的球有个，故，故选D．7．有本不同的书，其中语文书本，英语书本，数学书本．现从中随机拿出本，记拿出数学书的本数为，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由题意知：拿出数学书的本数的取值有，∴，，，即，故选C．8．设，则随机变量的分布列为：012设，则当内增大时：（    ）A．递减，递增 B．递减，递减C．递增，先递减再递增 D．递减，先递增再递减【答案】B【解析】根据题意可得，．则当内增大时，单调递减；又，故的分布列如下所示：012故，令，故当时，单调递减，即单调递减，故选B．9．某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设没有发芽的种子数为，则，，所以．10．已知随机变量，若，则，分别为（    ）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【解析】，，．，，由期望和方差的性质可得，，故选C．11．（多选题）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（    ）123A．，  B．，C．  D．【答案】BC【解析】依题意，所以，结合，解得，所以B选项正确；，所以C选项正确，故选BC．12．（多选题）下列说法正确的有（    ）A．已知随机变量服从正态分布，若，则B．设随机变量服从正态分布，若，则C．设随机变量，则等于D．某人射击一次击中目标的概率为，经过次射击，此人恰有两次击中目标的概率为【答案】AD【解析】对于A，因为变量服从正态分布，若，所以，因为关于对称，所以，故A正确；对于B，因为，所以须满足，等式不恒成立，故无论是任何实数，都不能使，故B错误；对于C，因为随机变量，则，故C错误；对于D，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为，故D正确，故选AD．13．（多选题）如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（    ）A．取每一个可能值的概率是正数B．取所有可能值的概率和为C．取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和D．在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【答案】BC【解析】对于A选项，取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误；对于B选项，取所有可能值的概率和为，故B选项正确；对于C选项，取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确；对于D选项，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误，故选BC． 二、填空题14．已知随机变量的分布列如表，则________．012【答案】【解析】由，即，解得或，因为，所以，故答案为．15．在含有件次品的件产品中，任取件，则取到的次品数恰有件的概率是______．【答案】【解析】由题意得：件产品中，有件次品，件正品，故任取件，恰有件是次品的概率，故答案为．16．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．【答案】【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，结合题意有，故答案为1．17．随机变量分布列如下表，则______；______．01·【答案】；1【解析】，∴，∴，故答案为；1． 三、解答题18．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的题，乙能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对题才算合格．（1）设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为、，写出随机变量、的分布列；（2）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（3）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）甲：，乙：；（3）．【解析】（1）随机变量的所有可能取值为，，，，，所以随机变量的分布列为：0123随机变量的所有可能取值为，， ，，所以随机变量的分布列为：123（2）记“甲考试合格”为事件，’乙考试合格”为事件，由（1）知，，，所以甲、乙两人考试合格的概率分别为，．（3）因为事件相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．19．某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队伍只比赛一场），有高一、高二、高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为，每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同时，高年级获胜．（1）若高三获得冠军的概率为，求；（2）记高三的得分为，求的分布列和期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）高三获得冠军有两种情况：高三胜两场；三个队各胜一场，高三胜两场的概率为；三个队各胜一场的概率为，所以，所以．（2）高三的得分的所有可能取值为，，，，所以的分布列为：故的期望为．20．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计个数11356193318442121100经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望．【答案】（1）等级为丙；（2）①；②分布列见解析，．【解析】（1），，，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（2）易知样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为．①由题意可知，于是．②由题意可知的取值有、、，，，．的概率分布列为：故．21．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的名用户，从中随机抽取了名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在元以下(不含元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．（1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取位女性用户，这位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满元可直减元；方案二：手机支付消费每满元可抽奖次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折．如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?附：【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）；（3）方案二．【解析】（1）由已知得出列联表：所以，有的把握认为“手机支付族”与“性别”有关．（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，，．（3）若选方案一，则需付款元；若选方案二，设实际付款元，则的取值为，，，，，，选择第二种优惠方案更划算．22．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取名购物者进行采访，名男性购物者中有名倾向于选择网购，名倾向于选择实体店，名女性购物者中有名倾向于选择网购，名倾向于选择实体店．（1）若从名购物者中随机抽取名，求至少有名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这名购物者中随机抽取名，设表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）设“随机抽取2名，至少1名倾向于选择实体店”为事件，则至少有1名倾向于选择实体店的概率．（2）的所有可能取值为，，，，，∴的分布列为：0123∴．23．为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有名客户．（1）完成下面列联表，并分析是否有97．5%的把握认为业务水平与服务水平有关； 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数   对业务水平不满意人数   合计   （2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?附：00100．050．0250．0100．0050．0012．7063．8415．0246．6357．87910．828，其中．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）分布列见解析，；（3）．【解析】（1）由题意知对业务水平的满意的为人，对服务水平的满意的为人，得列联表： 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数9030120对业务水平不满意人数101020合计10040140，所以，有的把握认为业务水平与服务水平有关．（2）的可能取值为；所以，，．则的分布列如下，01·．（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为．从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有名客户流失的概率为．