（新高考）2021届高三培优专练6 导数中的构造函数问题解析版
展开培优6 导数中的构造函数问题
一、直接构造
例1：设函数，在上均可导，且，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，即，
所以函数在上单调递减，
所以，所以．
二、根据题意或选项的提示构造函数
1．当题意中出现时，“”对应的原函数是，“”对应的原函数是．
例2：已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，
，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，
因为当时，，所以函数在上单调递减，
因为是上的奇函数，所以，，，，
因为，所以，即．
2．当题意中出现时，“”需要构造函数，“”需要构造函数．
例3：已知函数的导函数为，若，，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以构造函数，
，所以在上单调递增，．
因为，所以，即，所以．
3．复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的．
例4：设函数满足，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
则，．
令，则，
当，则；当，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
所以在上恒成立，即在上无极大值也无极小值．
增分训练
一、选择题
1．定义在上的函数的导函数满足，
则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
得．
设，则，故在上单调递减，
则，即，即．
2．已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知：，，所以，即，
令，则，
又对任意，恒成立，所以，
可知函数在单调递增，
又，所以，所以，
即的解集为，即不等式的解集为．
3．已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，则函数的定义域为，
对任意，，则，
所以，函数为上的增函数，
∵，∴，
由，可得，解得，
因此，不等式的解集为．
4．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】时，，
而也为偶函数，
所以
．
5．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，
则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，
则，
，∴，∴，
∴在定义域上单调递增，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴（其中为自然对数的底数）的解集为．
6．（多选题）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有
成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】根据题意，令，，
则其导数，
又由，且恒有，
则有，即函数为减函数，
又由，则有，即，分析可得；
又由，则有，即，分析可得．
7．（多选题）定义在上的函数的导函数为，且对恒成立，则下列选项不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】构造函数，
因为，
故函数在上单调递减函数，
因为，所以，即，
故A正确，B错误；
因为，即，所以，故C错误；
因为，即，所以，故D错误．
二、填空题
8．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，恒成立，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，∴在上单调递增，
又，
∴等价于，
则，解得．
9．若对于任意的，都有，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，，
∴，∴，∴，
据此可得函数在定义域上单调递增，
其导函数：在上恒成立，
据此可得：，即实数的最大值为．
10．设函数是偶函数的导函数，，当时，
，则使得成立的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设函数，是偶函数，，
所以函数是奇函数，且，，
当时，，即当时，单调递减，．
所以当时，，；
当时，，，
是偶函数，所以当时，；当时，，
所以使得成立的的取值范围是．
三、解答题
11．已知函数，．
（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题知的定义域为，
又，则，
又因为，所以切点为，所以，解得．
（2）当时，，当时，不等式恒成立，
即不等式，恒成立，
设，，则．
因为，所以，
所以在上单调递减，从而，
要使原不等式恒成立，即恒成立，故，
即的取值范围为．
12．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）求证：当，时，不等式恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，
∴，，
将点代入切线方程得，可得，
∴，解得．
（2）证明：由（1）得，
当，时，要证不等式，
即证，
当时，先证，
构造函数，，
则，
构造函数，，则，
当时，，∴函数在上单调递增，
∴当时，，则，
∴，∴函数在上单调递增，
∴，即当时，，
则当，时，，
∴当，时，不等式恒成立．
13．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）若正实数，满足，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），切点为，
，，
切线为，即．
（2），
，，
令，，，，
，，为减函数；
，，为增函数，
，所以，即，
得，得到，即．
