（新高考）2021届高三培优专练7 导数中的恒成立问题解析版
展开培优7 导数中的恒成立问题
一、证明不等式恒成立
例1：已知函数．
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由条件得，令，则．
①当时，在上，，单调递增，
∴，即，
∴在上为增函数，∴，∴时满足条件；
②当时，令，解得，
在上，，单调递减，
∴当时，有，即，
在上为减函数，∴，不合题意，
综上实数的取值范围为．
（2）由（1）得，当，时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，只需证，
设，则，
∴当时，恒成立，故在上单调递增，
又，∴恒成立，∴原不等式成立．
二、根据不等式恒成立求参数最值
例2：若对，，恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以对，，恒成立，
等价于，恒成立，即，成立，
令，则，
于是当时，；当时，，
即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，因此，即实数的最小值为，
故选D．
三、不等式恒成立求参数取值范围
例3：已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，．
1）当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增；
2）当时，，且方程有两根，．
①当时，，
所以函数在单调递减，在，单调递增；
②当时，，
所以函数在，单调递减，在单调递增．
综上，当时，函数在单调递减、在单调递增；
当时，函数在单调递减、在，单调递增；
当时，函数在，单调递减、在单调递增．
（2）函数恒成立，即，即，
设函数，则，
令，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数的最小值，所以，
所以的取值范围是．
增分训练
一、选择题
1．已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
当时，对任意的，，，有；
当时，，恒有，
所以在是单调递增的．
那么对任意的，不等式恒成立，
只要，且，
，，
所以，即，，故选B．
2．若函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，（）
所以有两个正根，
∴，即，
又∵，，，，
∴
，
令，，
∴在上单调递减，∴，故选A．
3．已知函数，若恒成立，则满足条件的实数
的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】①当时，，满足题意；
②当时，，，，
故不恒成立；
③当时，设，，
，都是递增函数，
要使恒成立，则，恒同号，
所以，与轴交点重合，
令，得，，得，
方程的解的个数，即，交点个数，
设，则，
由导数的应用可得在为减函数，在为增函数，
则，即有2解，
所以存在2个使得成立，
综合①②③得：满足条件的的个数是3个，故选A．
4．已知函数，若在上恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在上恒成立，
得在上恒成立，
由题得当，时，，，
令函数，则，所以单调递增，
所以，上恒成立，
令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以实数a的最小值为，故选D．
5．设，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将不等式变形为，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式变形为，
记，则，
而，因此在上单调递增，故，
∴，故，
∴的取值范围是，故选A．
6．已知函数，，当时，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
所以在上恒成立，
所以在区间上单调递增．
所以，得，即，
记，所以，
所以当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即实数的最小值为，
故选A．
7．（多选题）定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．
【答案】BCD
【解析】对A，，且，
可得，可得，
故(为常数)
又，可得，求得，
故，
整理可得，，
，
当，即，解得，
，此时单调递增；
当，即，解得，，
当，即，解得，
，此时单调递减，
，取得极大值，，故A说法错误；
对B，，，
，，
，，
画出草图，如图所示：
根据图象可知：只有一个零点，故B说法正确；
对C，要保证在上恒成立，
即：保证在上恒成立，
，可得在上恒成立，
故：只需，
令，，
当时，；当时，；
当时，，
即，
，故C说法正确；
对D，根据，单调递增；，单调递减，
，可得，
又，，
由，
根据，
，故，故D说法正确，
综上所述，正确的说法是BCD，故选BCD．
8．（多选题）设函数，，给定下列命题，正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递增，在单调递减
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】AC
【解析】的导数为，
则，，
对于A，，即，解得，故正确；
对于B，，当时，，在单调递增，
故错误；
对于C，可化为，
设，
又，∴在上单调递减，
∴在上恒成立，即，
又在单调递增，在上单调递减，，
∴，故正确；
对于D，若函数有两个极值点，则有两个零点，
即，，
又在单调递增，在上单调递减，
，时，，即，，故错误，
故选AC．
二、填空题
9．若对，不等式恒成立，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】令，所以，
有意义，所以，所以在单调递增，
因为当时，，且，
所以使得，
并且当时，；当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以，且，
所以，，
所以
，
所以，
考虑函数，
其中，根据复合函数单调性可知在上单调递减，
因为，所以解，得到，所以，
因为在上单调递增，所以的最大值为，
故答案为．
10．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意，令，则，
令，可得，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
，，
即等价于，
令，则，令，可得，
当时，递减；时，递增，
当时，所以的解集为，
的取值范围是．
11．不等式对于任意正实数恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由不等式对于任意正实数恒成立，
令，求导得，
因为，所以按与2比较分类讨论：
当时，，所以在区间上是增函数，
又，所以．
当时，因为是增函数，所以有唯一正数解，设为，
所以在区间上，，是减函数，
所以在上，，不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
12．若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________．
【答案】
【解析】由，，原不等式可化为．
设，则，
当时，，递增；
，，递减．
所以，在处取得极大值，且为最大值；
时，，
的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；
当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，
再令，可得，所以取得最大值为，
此时，，直线与在点处相切．
三、解答题
13．已知函数，，．
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，．
当时，，所以在上单调递增，无极值点；
当时，解，得；解，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值点是，无极小值点．
（2）由条件可得恒成立，则当时，恒成立，
令，则，
令，
则当时，，所以在上为减函数．
又，所以，当时，；当上，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，所以，
因此，实数的取值范围是．
14．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，．且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
则①当时，是常数函数，不具备单调性；
②当时，由；由，
故此时在单调递增，在单调递减；
③当时，由；由，
故此时在单调递减，在单调递增．
（2）因为，
所以，
由题意可得有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
则，
不等式恒成立等价于恒成立，
又
，
所以，
令（），则，
所以在上单调递减，所以，
所以．
15．已知函数（）．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）当时，函数的解析式为，则，
结合导函数与原函数的关系可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数的最小值为．
（2）若时，，即（*），
令，则．
①若，由（1）知，即，故，
，
∴函数在区间上单调递增，∴，
∴（*）式成立．
②若，令，则，
∴函数在区间上单调递增，
由于，．
故，使得，
则当时，，即．
∴函数在区间上单调递减，∴，即（*）式不恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
