（新高考）2021届高三培优专练9 平面向量解析版
展开培优9 平面向量
一、平面向量的线性运算与共线定理
例1：在中，，是直线上一点，若，
则实数 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为是直线上的一点，所以设，则，
即，
则，．
二、平面向量的基本定理（三角形的四心问题）
例2：已知，，是平面内不共线三点，是的外心，动点满足
，则的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
【答案】D
【解析】取边的中点，则，
由，
可得，
所以，
即点的轨迹为三角形中边上的中线，故选D．
三、平面向量的建系坐标化应用
例3：已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
由题意知，，，，
设，则，
∵，∴，
∴的取值范围是．
四、平面向量的数量积
例4：如图在矩形中，，，点为的中点，点在上，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】选基向量和，由题意得，，，
∴，
∴，
即，解得，
∵点为的中点，，
∴，，
∴．
五、平面向量与三角函数结合
例5：已知，，．
（1）求函数的解析式，及的最小正周期；
（2）当时，函数的最大值为，求此函数的最小值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）∵，，，
∴
，
故．
（2）当时，．
由，．
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一、选择题
1．已知向量，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
又∵，∴，即的最小值为．
2．在中，是边所在直线上任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵中，是边所在直线上任意一点，
∴存在实数，使得，即，
化简得，
∵，∴结合平面向量基本定理，
得，解之得，．
3．若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】∵，，
∴原式化为，
即对角线构成平行四边形为矩形，
∴为直角三角形．
4．如图，在中，，，为上一点，且满足
，若的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，
则三角形的面积为，解得，
由，且，，三点共线，
可知，，故．
以点为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，
建立如图所示坐标系，
则，，，，
则，，，
（当且仅当，即时取“”）．
故的最小值为．
5．已知，且，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，，且，
又，取中点为，可得，
∵，∴的终点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点在点处，的最小值为；
当点在的延长线时，的最大值为，
∴的取值范围是．
6．已知向量，，若是实数，且，
则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴
，当时取等号．
7．设，，分别是的内角，，的对边，已知
，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴由正弦定理可得，整理可得，
∴由余弦定理可得，∴由，可得，
又的面积为，即，∴，
又
．
8．是平面上定点，是平面内不共线三点，动点满足
，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，
则的方向为的角平分线的方向，
又，所以与的方向相同，
由，可得，
所以点在上移动，故的轨迹一定是通过的内心，故选B．
9．已知，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意建立如图所示的坐标系，
可得，，，
∵，∴，
∴，，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
由，可得；由，可得，
∴的最大值为，最小值为，
则的范围是．
10．在平行四边形中，分别是，的中点，交于点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，分别是，的中点，
∵三点共线，∴存在实数，
使得，
∵三点共线，∴存在实数，且，
使得，
即，解得，，，
故．
11．（多选题）在中，若，则下列说法错误的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心 D．是的垂心
【答案】ABC
【解析】∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴点是的三条高的交点．
12．（多选题）在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．点为内一点，且，则为等腰三角形
D．，则为锐角三角形
【答案】BC
【解析】A中，由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；
B中，由向量加法的三角形法则可得，题中的说法正确；
C中，因为，即；
又因为，所以，
即，所以是等腰三角形，题中的说法正确；
D中，若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误．
二、填空题
13．已知，是单位向量，，，，，若，则实数 ；若，，三点共线，则实数 ．
【答案】；
【解析】由已知可得，解得实数．
∵，，三点共线，又，，
∴，解得实数．
14．如图，是半径为的圆的直径，是圆上异于的，一点，是线段上靠近的三等分点，且，则的值为 ．
【答案】
【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，
则圆，设，，，
∵是线段上靠近的三等分点，∴，解得，
即，，
∵，∴，解得，
即
，
故的值为．
三、解答题
15．已知向量，．
（1）设，求在上的减区间；
（2）若，向量与共线，且为第二象限角，求．
【答案】（1）减区间为；（2）．
【解析】（1），
令，可得，
取，得在上的减区间为．
（2）因为，，与向量共线，
所以，即，
又因为是第二象限角，所以，，
所以：，．
16．已知函数，其中，，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，
且向量与向量共线，求的面积．
【答案】（1）单调递减区间为；（2）．
【解析】（1）
，
令，解得，
∴函数的单调递减区间为．
（2）∵，∴，即，
∴，∴，
又∵，∴，
∵，∴由余弦定理得①
∵向量与共线，
∴，由正弦定理得②
由①②得，，∴．
