专题1.5 全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题1.5  全称量词与存在量词

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)

A．∃x>1，x2－2x－3＝0

B．若2x为偶数，则x∈N

C．所有菱形的四条边都相等

D．π是无理数

【答案】C

【解析】对于A，是存在量词命题，故A不正确；

对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；

对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；

对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.

2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)

A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆

B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆

C．所有四边形的四个顶点共圆

D．所有四边形的四个顶点都不共圆

【答案】A

【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.

3．下列命题为真命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解

B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0

C．有些整数只有两个正因数

D．所有的质数都是奇数

【答案】C

【解析】A.x－2＝0⇔x＝∉Q，故A错误；

B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误．

C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，

D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.

4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)

A．∀x∈Q，有x∈P　　　　 B．∀x∉Q，有x∉P

C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q

【答案】B

【解析】∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，

∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.

5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)

A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}

C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}

【答案】B

【解析】∵p为假命题，

∴綈p为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，

∴1－a≤0，则a≥1.

∴a的取值范围是a≥1，故选B.

6.（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(  )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．

故选B．

7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋<0

B．所有的正方形都是矩形

C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0

【答案】AC

【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选A、C.

8.(多选)下列命题错误的是(　　)

A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0 B．∃x∈Q，x2＝3

C．∀x∈R，x2－1>0 D．∃x∈N，|x|≤0

【答案】ABC

【解析】对于A，x＝－1时，不合题意，A错误；

对于B，x＝±，B错误；

对于C，比如x＝0时，－1<0，C错误；D选项正确．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在实数x，使x2＋2<0;

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

【答案】①③④

【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.

10．若命题p：∀x∈R，<0，则綈p：________________．

【答案】∃x∈R，>0或x－2＝0

11．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则綈p：________________．

【答案】∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解

12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)

【答案】是

【解析】∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．

而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．

∴两位同学题中m范围是一致的．

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.

(2)是全称量词命题且为假命题．

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)是存在量词命题且为真命题．

命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．

14．写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x－3>x；

(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

【解析】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．

(2)命题的否定：∀x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．

(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．

(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．

15．写出下列命题的否定并判断真假：

(1)所有自然数的平方都是正数；

(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(3)∀x∈R，x2＋3＜0；

(4)有些质数不是奇数．

【解析】(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．

(2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．

(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．

(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．

16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

【解析】(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，

所以，解得2≤m≤3.

(2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.

所以，解得2≤m≤4.