专题4.1指数与指数函数-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题4.1.1  指数幂的运算姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））的值（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式.故选：C.2．（2020·大连市普兰店区第一中学高二期末）计算的结果为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故选：C3．（2020·全国高一专题练习）若，则(　　)A． B．1 C． D．【答案】C【解析】依题意，.故选：C.4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)A．4 B．2或－2C．－2 D．2【答案】D【解析】设ab－a－b＝t.∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.∴t＝2.5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)A. B．C．1 D．【答案】B【解析】∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝.6．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，若f(－1)＝，则a等于(　　)A．－3 B．－2C．－1 D．0【答案】A【解析】∵f(－1)＝，∴f(1)＝－f(－1)＝－，即21＋a－1＝－，即1＋a＝－2，得a＝－3.7.（多选）（2019·广东禅城佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，故A正确；当时，显然不成立，故B不正确；，故C不正确；，D正确，故选AD.8.(多选下列各式中一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】，错误；，正确；，错误；，正确故选： 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·上海高一开学考试）当时，_______________.【答案】【解析】根据指数运算公式：，因为，所以原式=.故答案为：.10．（2020·全国高一课时练习）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.【答案】【解析】∵，∴.故答案为：.11．（一题双空）已知，则______；当时，化简______.【答案】；    .    【解析】， 故答案为：；12化简：________.【答案】【解析】原式.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（2020·全国高一课时练习）将下列根式化成分数指数幂的形式.（1） (a>0)； （2）；（3）(b>0).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式＝ ＝＝＝.（2）原式＝＝＝＝＝＝.（3）原式＝[]＝＝.14．（2020·全国高一课时练习）若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.【答案】－.【解析】＝＝.①∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，∴a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6.③将②③代入①，得＝＝－.15．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．证明：∵2a·3b＝6，∴2a－1·3b－1＝1.∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1.①又∵2c·3d＝6，∴2c－1·3d－1＝1.∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1.②由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．16.（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高一期末）已知.（1）求（且）的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），；（2）原式.       专题4.1.2  指数函数姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（    ）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.3．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【答案】D【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选：D.4．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数的定义域是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】要是函数有意义须满足，即，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.5．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】D【解析】∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝>b＝.∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.故本题答案为D.6．（2020·浙江高一单元测试）函数的值域是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴，∴，∴函数值域为．故选：B7．（多选）（2020·全国高一课时练习）设函数（，且），若，则（    ）A． B． C．  D.【答案】AD【解析】由得，即，故，，，所以AD正确.故选：AD8．（多选）（2020·山东临沂�高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（    ）A．浮萍每月的增长率为B．浮萍每月增加的面积都相等C．第个月时，浮萍面积不超过D．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则【答案】AD【解析】将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.对于A选项，由可得浮萍每月的增长率为，A选项正确；对于B选项，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，，B选项错误；对于C选项，第个月时，浮萍的面积为，C选项错误；对于D选项，由题意可得，，，，，即，所以，，D选项正确.故选：AD.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2019·定远县育才学校高一月考）若函数（且）在上最大值是最小值的2倍，则______.【答案】2或【解析】当时，函数为上的减函数，故，即，解得.当时，函数为上的增函数，故，即，解得.故的值为或.故填：或.10．（2020·江苏秦淮�高三期中）不等式的解集为_________.【答案】【解析】，化为，解得，所以不等式的解集是.故答案为:.11．（2019·深州长江中学高一期中）函数的单调递增区间为_________．【答案】【解析】函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为.故填：.12．（一题两空）（2020·上海高一课时练习）函数的图象与函数的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.【答案】轴        【解析】函数的图象与函数的图象如下：由指数函数的性质可知，函数的图象与函数的图象关于轴对称，它们的交点坐标是.故答案为：轴；.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.（1）求常数的值.（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，解得.（2）由（1）得.由得，当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.14．（2019·陕西临渭�高一期末）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明在其定义域上的单调性.【答案】（1）详见解答；（2）详见解答.【解析】（1）的定义域为实数集，，所以是奇函数；（2），设，，，所以在实数集上增函数.15．（2019·黑龙江松北�哈九中高一期末）已知函数．（1）若时，求满足的实数的值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，令，则，解得或（舍），由，得，所以．（2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，令，∴．则，易知在上单调递增，所以，∴，∴．16．（2019·安徽合肥�高二开学考试）设函数（且）是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，所以，即，当时，符合条件.（2）因为，所以，解得或（舍）.故，令，由，故，所以函数图象的对称轴为，①时，，解得（舍去）；②时，，解得.所以，.