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2.2.2对数函数及其性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版必修1)
展开专题2.2.2 对数函数及其性质
姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共20题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数,可知 ,解得 ,
2.函数y= 的图象关于 ( )
A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称
【答案】C
【解析】函数,
,则,函数关于原点对称。
3.(2020·镇平县第一高级中学高一月考)已知函数定义域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知的定义域为,即恒成立,当时,不恒成立,,解得:,所以实数的取值范围是.
4.(2020·石嘴山市第三中学)已知是上的单调递减函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,解得.
5.已知奇函数在上是增函数,若,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,且,据此,结合函数的单调性有,即.
6.对任意实数,都有(且),则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵loga(ex+3)≥1=logaa,∴a>1且a≤ex+3对任意实数x都成立,又ex+3>3,∴1<a≤3。
7.(2020·盘锦市第二高级中学高一期末)若函数的图象过定点,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象过定点,则,,,,.
8.(2020·河北衡水中学)已知正实数满足,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,在同一坐标系内,分别作出函数的图象,结合图象可得:,故选B.
9.(2020·宁夏银川一中)已知 ,若互不相等,且,则的取值范围为( )
A.(1,15) B.(10,15) C.(15,20) D.(10,12)
【答案】B
【解析】不妨设,画出的图像如下图所示,由于,故,所以.
10.(2020·公主岭市第一中学校)当时,,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时, , ,不成立,当时,当时,,解得:,如图,若时,时,.
11.(2020·浙江高一课时练习)已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数是定义在上的偶函数,∴,等价为),即.∵函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递增,∴)等价为.即,∴,解得,故选项为C.
12.已知,若正实数满足,则的取值范围为( )
A. B.或
C.或 D.
【答案】C
【解析】因为与都是上的增函数,所以是上的增函数,
又因为,所以等价于,由,知,
当时,在上单调递减,故,从而;当时,在上单调递增,故,从而,综上所述, 的取值范围是或,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
13.(2020·全国高一课时练习)若是函数的反函数,且,则=________.
【答案】
【解析】,则点 在的函数图像上,又互为反函数的图像,关于直线 对称,
所以关于直线的对称点在函数上,所以,所以=。
14.(2020·河北路南�唐山一中)已知函数.若函数的值域为R, 则实数m的取值范围为________.
【答案】
【解析】若函数的值域为R,则能取遍一切正实数,,即 ,实数m的取值范围为
15.(2020·甘肃省甘谷第一中学)已知函数,若,则此函数的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】由题意,令,解得,或,故函数的定义域为,
,得,令,则,
根据复合函数的单调性,即求在定义域内的增区间,由二次函数的性质,的增区间为,所以函数的单调递增区间为.
16.(2020·天津和平耀华中学高一期末)已知对任意都有意义,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】要使函数有意义,则当意时,恒成立,即.若时,当时,此时不成立.若,当时,作出函数和的图象,当时,,得,即,若对任意恒意义,则,即实数的范围是.
三、解答题(本大题共4小题,每题9分,共36分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2020·盘锦市第二高级中学)已知函数在区间上的最大值为2.
(1)求实数的值;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)或2 (2)见解析
【解析】(1)当时,在上是减函数,是最大值,,∴,
当时,在上是增函数,最大值为,,∴,∴或2
(2)当时,由得,解得:
∴,∴,∴的取值范围是,当时,由得,解得:,∴,∴,∴的取值范围是.
18.(2020·开鲁县第一中学)设,且.
(1)求的值及的定义域;(2)求在区间上的最大值.
【答案】(1),定义域为;(2)2
【解析】(1),解得.故,
则,解得,故的定义域为.
(2)函数,定义域为,,
由在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得在上单调递增,在上单调递减.故在区间上的最大值为.
19.(2020·辽宁辽阳高一期末)已知函数.
(1)若是定义在R上的偶函数,求a的值及的值域;
(2)若在区间上是减函数,求a的取值范围.
【答案】(1),;(2)
【解析】(1)因为是定义在R上的偶函数,所以,所以, 故,此时,,定义域为R,符合题意.令,则,
所以,故的值域为.
(2)设.因为在上是减函数,
所以在上是减函数,且在上恒成立,
故,解得,即.
20.(2020·怀仁市第一中学校云东校区)已知函数.
(1)当时,求;
(2)求解关于的不等式;
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】(1)当时,
(2)由得:,或
当时,解不等式可得:或
当时,解不等式可得:或
综上所述:当时,的解集为;当时,的解集为
(3)由得:,或
①当时,,
或,解得:
②当时,,
或,解得:
综上所述:的取值范围为