2.2平面向量的基本定理及坐标表示-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修4）

专题2.2  平面向量的基本定理及坐标表示

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·广东云浮·高一期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．

2．（2020·北京二十中高一期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A．-4 B．4 C．-1 D．1

【答案】C

【详解】由题意，向量，，所以，可得，解得.

3．（2020·新绛县第二中学高一）已知，，则与向量共线的单位向量为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【详解】因为，，所以向量，所以与向量共线的单位向量为或.

4．（2020·江西高一期末）已知两个非零向量，不共线，若，，且A、B、D三点共线，则等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【详解】，∵A，B，D三点共线，∴设，即，

∴，解得.

5．（2020·四川乐山·）已知平行四边形的顶点，，，则顶点D的坐标为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵四边形为平行四边形，∴，设，∵，，，

∴，，∴，解得。

6．（2020·陕西咸阳·高一期末）已知向量,.若向量满足，则的值为（  ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C.

【详解】，，即，解得.

.

7．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学）设向量，，若与平行，则实数等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【详解】，，则，，，，

，，，，又与平行，

，即．

8．（2020·广东湛江二十一中）如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为(　　)

A．＋ B．2－ C．－2＋ D．2＋

【答案】C

【解析】以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，则．设，则，

∴，解得，所以．选C．

9．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（    ）

A．    B． C． D．

【答案】D

【详解】由三点共线，则、共线，所以存在不为零的实数，使得

即，又因为是不共线的向量，所以，消解得

10．（2020·山西）已知向量，，，则当取最小值时，实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由知在直线上，当时，最小，如图，，又，∴，，这时，．

11．（2020·衡水市第十四中学）如图，正方形中，分别是的中点，若则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取向量作为一组基底，则有，所以，又，所以，即.

12．（2020·湖南高一期末）如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【详解】如图，以为坐标原点，建立直角坐标系，设等边三角形的边长为，

，，,，，解得，

.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·新乡市第一中学高一月考）在同一平面内已知，，，若以A，B，C为顶点可以构成一个三角形，则m的取值范围是______________.

【答案】（或写成也对）

【详解】因在同一平面内，故只要A、B、C三点不共线就能构成三角形.由题意，，假设共线，则，解得，所以三点构成三角形时有，

14．（2020·上海杨浦·复旦附中）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若

＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则___________.

【答案】4

【详解】以向量，的交点为原点，建立直角坐标系，则=(-1,1)， =(6,2)， = (-1,-3)，由=λ＋μ，得，即解得，.

15．（2020·山西省长治市第二中学）中，为边上的中点，动点在线段上移动时，若，则的最小值为______

【答案】

【详解】由A、D、E三点共线，得，因为，为边上的中点，所以，所以，消去t得，

即，当时，s有最小值.

16．（2020·山东滕州市第一中学新校）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.

【答案】

【详解】解法1：因为，所以，又，所以

因为点三点共线，所以，解得：.

解法2：因为，设，所以，因为，

所以，又， 所以，

所以，又，

所以 解得： ，所以.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·吴起高级中学高一月考）平面内给定三个向量.

（1）求；（2）求满足的实数的值.

【答案】（1）（2）

【详解】（1），， 

（2） ，

， 解之得.

18．（2020·宁夏长庆高级中学高一期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知平行四边形ABCD的三个顶点．

（1）求对角线AC及BD的长；（2）若实数t满足，求t的值．

【答案】（1）.（2）

【详解】（1）设，由，得，，，，，

，.

（2），

，.

19．（2020·河南开封·高一期末）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．

（1）用，表示，；（2）若，求．

【答案】（1），．（2）

【详解】（1）∵，∴，

．

（2）∵，又由在上，

与共线，∴存在实数，使．

即，则．解方程组，得．

20．（2020·衡水市第十四中学）已知向量，，，.

（1）若与共线，求实数m.   （2）求的最小值及相应的t的值。

【答案】（1）时，最小值为；（2）.

【详解】（1）. ∵与共线，∴，则.

（2）∵，∴

当时，取得最小值.

21．（2020·辽宁大连·高一期末）如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，

（1）用向量和表示向量，；

（2）若，，求实数x和y的值.

【答案】（1）；；（2）.

【详解】（1），

（2）因为

.  即

因为与不共线，从而，解得

22．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在中，，，与相交于点.设，.

（1）试用向量、表示；

（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，，

求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】（1）不妨设.由于、、三点共线，则存在使得，

即，于是.又，

所以，则，即.①

由于、、三点共线，则存在使得，即，

于是.又，所以，

所以，即.②由①②可得，，所以；

（2）由于、、三点共线，所以存在实数使得，

即，于是.

又，，所以，

所以，则，可得，两式相加得.