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冀教版八年级下册22.4 矩形试讲课ppt课件
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这是一份冀教版八年级下册22.4 矩形试讲课ppt课件，共45页。PPT课件主要包含了课堂讲解，课时流程，逐点导讲练，课堂小结，作业提升，平行四边形的性质，知识点，矩形及其对称性，矩形的边角性质，矩形的对角线性质等内容，欢迎下载使用。
矩形及其对称性矩形的边角性质矩形的对角线性质
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
平行四边形的对角线互相平分；
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形——矩形.
1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O是这个矩形 的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形. 矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？
2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长 保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使 一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角 α由钝角先变成直角，再变成锐角.
在这个过程中：(1)这个四边形总是平行四边形吗？(2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？(3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
例1 [一题多解]如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为________．
导引：由题意易得到△OEB≌△OFD，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
方法一：∵四边形ABCD是矩形，∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO，∴阴影部分的面积为矩形面积的 .∴S阴影部分＝S△ABO＝ ×3×4＝3.方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.在△OEB与△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴S阴影部分＝S△ABO＝ S矩形ABCD＝ ×3×4＝3.
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积求解．体现了转化思想．
下列说法不正确的是( )A．矩形是平行四边形B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
【中考·菏泽】在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在 的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗?如果是，它 有几条对称轴？(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你 发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论．
矩形的四个角都是直角.
例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和 ∠EAO的度数．
由∠DAE与∠BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度数，从而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决．
1 已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，CE. 求证：△EBC是等腰三角形.
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )A．5 B．4 C. D.
【中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O. 若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【中考·绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( )A．7° B．21° C．23° D．24°
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
例4 如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴∠AOB是等边三角形.∴AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD对角线的长为8 cm.
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．
矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是__________________________________________________________________________.
①矩形的四个内角都是直角；②矩形的两条对角线相等
如图，四边形ABCD为矩形，指出图中相等的线段和角.
相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.
已知矩形ABCD的边AB=4，BC=5.求对角线AC的长.
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝
如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄CE，交AB于点F，DE=2. 矩影的周长为16，且CE=EF. 求AE的长.
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD，设AE＝x，则CD＝x，AD＝x＋2.∵矩形的周长为16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.即AE＝3.
在矩形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，因为AB∥CE，BE∥AC，所以四边形ABEC是平行四边形．所以AC＝BE，又因为AC＝BD，所以BD＝BE.
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E.求证：BD=BE.
已知：如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.求PE+PF的值.
连接PO，在矩形ABCD中，AC＝BD＝ ＝5.OA＝OD＝ AC＝ BD＝ .S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA·PE＋ OD·PF＝ OA·(PE＋PF)＝ S△ADC＝ × AD·DC＝3.故PE＋PF＝ .
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接DF.求DF的长.
连接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因为E为CD的中点，所以DE＝CE.因为AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.在△ADE和△FCE中，所以△ADE≌△FCE，所以CF＝AD，又因为AD＝BC，所以BC＝CF，又因为DC⊥BF，所以DF＝BD＝ ＝5.
【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
【中考·兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝DE＝2，则四边形OCED的面积为( )A．2 B．4 C．4 D．8
【中考·宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
1. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相 等．2. 矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角 形．在解题的时候常用到等腰三角形的性质．3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对 称轴．
矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为______________．
4 cm2或12 cm2
易错点：对题意理解不透彻导致漏解
矩形及其对称性矩形的边角性质矩形的对角线性质
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
平行四边形的对角线互相平分；
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形——矩形.
1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O是这个矩形 的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形. 矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？
2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长 保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使 一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角 α由钝角先变成直角，再变成锐角.
在这个过程中：(1)这个四边形总是平行四边形吗？(2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？(3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
例1 [一题多解]如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为________．
导引：由题意易得到△OEB≌△OFD，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
方法一：∵四边形ABCD是矩形，∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO，∴阴影部分的面积为矩形面积的 .∴S阴影部分＝S△ABO＝ ×3×4＝3.方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.在△OEB与△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴S阴影部分＝S△ABO＝ S矩形ABCD＝ ×3×4＝3.
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积求解．体现了转化思想．
下列说法不正确的是( )A．矩形是平行四边形B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
【中考·菏泽】在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在 的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗?如果是，它 有几条对称轴？(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你 发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论．
矩形的四个角都是直角.
例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和 ∠EAO的度数．
由∠DAE与∠BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度数，从而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决．
1 已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，CE. 求证：△EBC是等腰三角形.
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )A．5 B．4 C. D.
【中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O. 若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【中考·绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( )A．7° B．21° C．23° D．24°
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
例4 如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴∠AOB是等边三角形.∴AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD对角线的长为8 cm.
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．
矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是__________________________________________________________________________.
①矩形的四个内角都是直角；②矩形的两条对角线相等
如图，四边形ABCD为矩形，指出图中相等的线段和角.
相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.
已知矩形ABCD的边AB=4，BC=5.求对角线AC的长.
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝
如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄CE，交AB于点F，DE=2. 矩影的周长为16，且CE=EF. 求AE的长.
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD，设AE＝x，则CD＝x，AD＝x＋2.∵矩形的周长为16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.即AE＝3.
在矩形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，因为AB∥CE，BE∥AC，所以四边形ABEC是平行四边形．所以AC＝BE，又因为AC＝BD，所以BD＝BE.
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E.求证：BD=BE.
已知：如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.求PE+PF的值.
连接PO，在矩形ABCD中，AC＝BD＝ ＝5.OA＝OD＝ AC＝ BD＝ .S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA·PE＋ OD·PF＝ OA·(PE＋PF)＝ S△ADC＝ × AD·DC＝3.故PE＋PF＝ .
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接DF.求DF的长.
连接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因为E为CD的中点，所以DE＝CE.因为AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.在△ADE和△FCE中，所以△ADE≌△FCE，所以CF＝AD，又因为AD＝BC，所以BC＝CF，又因为DC⊥BF，所以DF＝BD＝ ＝5.
【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
【中考·兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝DE＝2，则四边形OCED的面积为( )A．2 B．4 C．4 D．8
【中考·宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
1. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相 等．2. 矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角 形．在解题的时候常用到等腰三角形的性质．3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对 称轴．
矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为______________．
4 cm2或12 cm2
易错点：对题意理解不透彻导致漏解
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