初一数学 第6讲 线与角 学案

  线与角  “一点在平面上或空间中沿一定方向和其相反方向运动，所画成的轨迹是直线。通过两点只能引一条直线。两点间以直线距离最短。”——《辞海》（1979年版）苏步青              模块一  线     模块二  角   
一、线1．基本概念：（1）直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线．表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序；②直线也可以用一个小写字母来表示．【例】如图1：可以记为直线AB或直线BA；如图2：记为直线l．图1                  图2（2）射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．表示方法：①射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点；②射线也可以用一个小写字母来表示．【例】如图3：记为射线OA，但不能记为射线AO；如图4：记为射线l．图3                  图4（3）线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．表示方法：①线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序；②线段也可以用一个小写字母来表示．【例】如图5：可以记为线段AB或线段BA；如图6：记为线段l．        图5                   图6（4）中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例】如图7：点O是线段AB的中点，此时．  图72．公理：（1）两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线；（2）两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短．二、角1．定义：（1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸．（2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间．②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个．③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。【例】                 或                                       2．角的相关换算：①1度分（），1分秒（）；②1周角，1平角，1直角；③1周角平角，1平角直角．3．相关概念补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等．如果，则与互补；反之，如果与互补，则．余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等．如果，则与互余；反之，如果与互余，则．角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．射线OC是的角平分线，． （1）下列说法正确的是（　　）A．直线AB和直线BA是两条直线B．射线AB和射线BA是两条射线C．线段AB和线段BA是两条线段D．直线AB和直线a不能是同一条直线 
（2）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）A．①②    B．①③     C．②④    D．③④ （3）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D．按要求作图：①画射线CD；②画直线AD；③连结AB；④直线BD与直线AC相交于点O．  （1）补全下面解题过程．已知：如图，B、D是线段AC上两点，D是BC的中点，，，求线段AB的长．解：∵，，（已知）∴．∵D是BC的中点，（已知）∴________________cm．（线段中点的定义）∴________________cm． （2）如图，在直线l的同侧有A、B两点，在直线l上找点C、D，分别使最小，最大．（不用说理由，保留作图痕迹即可） （1）如图3-1，线段，线段，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得，则__________． （2）如图3-2已知线段，点M为AB的中点，点P在MB上，点N为PB的中点，且，求PM的长． 
  图3-1                                    图3-2 （1）如图，M是线段AB上一点，，，C、D分别是AM、BM的中点．求CD的长． （2）若把上题中的条件“”去掉，其它条件不变，你能求出CD的长度吗？若能，请求出CD的长度，若不能请说明理由． （3）若M是线段AB延长线上一点，，C、D分别是AM、BM的中点，请画出相应的图形，并求出CD的长（用含a的代数式表出）． （1）延长线段AB到C，使，反向延长线段AB到D，使，若，则线段CD的长为___________． （2）已知A，B，C三点在同一直线上，线段，D是线段AB的中点，且，则线段CD的长为___________． （3）已知A，B，C，D四点共线，若，，，画出图形，求AD的长． 已知关于m的方程的解也是关于x的方程的解．（1）求m，n的值；（2）已知线段，在线段AB所在直线上取一点P，恰好使，点Q是PB的中点，求线段AQ的长． 
 （1）如图7-1，将一副三角板的直角顶点重合，可得，理由是等角（或同角）的________；若，则__________． （2）一个角的补角比它的余角的4倍少，则这个角的度数为________． （3）如图7-2，O是直线AB上的一点，，，OE平分，则图中彼此互补的角共有______对．     图7-1                                   图7-2 如图，已知，OD平分，且，求的度数． 
 如图所示，已知OM平分，ON平分．（1）当，，求的度数；（2）若，时，求的度数． 已知，从O点引射线OC，若，求OC与的平分线所成的角的度数为________．  已知、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算出了、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，则________． 
  （1）下列说法正确的是（    ）A．射线PA和射线AP是同一条射线B．射线OA的长度是12cmC．直线ab、cd相交于点MD．两点确定一条直线 （2）如图1-1长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成，则线段AC的长度为（    ）A．10cm              B．8cm              C．6cm              D．4cm （3）已知：如图1-2，，点C为线段AB上一点，点D、E分别为线段AB、AC的中点，，求线段AC的长．  图1-1                                     图1-2 线段AB上有两点P、Q，，，，求BQ的长．  
 如图所示，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，求绳子的原长． 如图所示，已知和都是的余角，OE、OF分别为和的角平分线．若，求的度数．  如图所示，OM是的平分线，ON是的平分线．（1）如果，，求的度数；（2）如果，求的度数．当的大小改变时，的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？ 
如图，是一个的正方形网格，则_____．