初中数学冀教版八年级下册22.3 三角形的中位线优秀课件ppt

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三角形的中位线性质三角形中位线在四边形中的应用
1. 在△ABC中，AD=BD， 线段CD是△ABC的中线.2. 在△ABC中，AE=EC， 线段BE是△ABC的中线.如果连结DE，那么DE是否是△ABC的中线？
什么叫三角形的中位线？连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线。一个三角形共有几条中位线？答：三条
思考：三角形的中位线与三角形的 中线有什么区别与联系？区别：中位线：中点--------中点 中线：顶点--------中点联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都 在三角形的内部且都是线段.
1. 如图，在△ABC中，画出它的三条中位线DE，DF， EF. 沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一 起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE 与BC具有怎样的位置关系和数量关系？
2. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中 心顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形 DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关 系和数量关系与上面的发现是否相同？
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE= BC.
延长DE到点F，使EF=DE.连接CF.在△ADE和△CFE中，∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，∴ △ADE≌△CFE.∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AD∥CF，即BD∥CF.又∵BD=AD=CF，∴四边形DBCF是平行四边形.∴DE∥BC，且DF=BC.∴DE= DF= BC.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点. 求证：△PMN是等腰三角形.
在△ABD中，∵N，P分别为AB，BD的中点，∴PN= AD.同理PM= BC.又∵AD=BC，∴PN=PM.∴ △PMN是等腰三角形.
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑用三角形中位线定理．
三角形三边的长分別为5，9，12.求连接各边中点所构成的三角形的周长.
2 如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于点D，AB=4，BC=6.求 DF的长.
∵EF为△ABC的中位线，∴EF＝ BC＝3，EF∥BC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB＝ AB＝2，∴DF＝EF－ED＝3－2＝1.
3 如图， △CDE为△ABC沿AC方向平移得到的，延长AB，ED相交于点F.请指出图中有哪些相等的线段，有哪些平行的线段.
相等的线段有AB＝BF＝CD，BC＝DF＝DE，AC＝CE.平行的线段有AF∥CD，AB∥CD，BF∥CD，BC∥DF，BC∥DE，BC∥EF.
4 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.请猜想四边形EFGH的形状，并证明自己的猜想.
四边形EFGH为平行四边形．证明如下：如图，连接AC，BD.∵H，E分别是AD，AB的中点，∴EH＝ BD，同理可得FG＝ BD，∴EH＝FG，同理可得EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
【中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)A．50 m B．48 mC．45 m D．35 m
【中考·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　　)A．5 B．7 C．9 D．11
【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　　)A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【中考·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(　　)A．∠ECD＝112.5° B．DE平分∠FDCC．∠DEC＝30° D．AB＝ CD
三角形中位线在四边形中的应用
欲证MN BC，只需证明MN是△EBC的中位线即可．而要证得M，N分别为BE，CE的中点，则可利用E，F分别为AD，BC的中点证四边形ABFE和四边形EFCD为平行四边形得到．
例2 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点， 连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN. 求证：MN BC.
如图，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC.∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.∴MN是△EBC的中位线．∴MN BC.
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理．(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法： ①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边 形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
1 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC，并分别找到AC和BC的中点M，N.由MN的长度即可知道A，B两点间的距离.(1)说出上述测量方法中的道理.(2)若测得MN=20m，求A，B两 点间的距离.
(1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)在△ABC中，∵M，N分别是AC，BC的中点，且MN＝20 m，∴A，B两点间的距离为20×2＝40(m)．
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，BD=AC，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G. 求证：EF= EG.
如图，取CD的中点为H，连接MH，HN.∵M，H分别是AD，DC的中点，∴MH＝ AC，MH∥AC，同理可得NH＝ BD，NH∥BD，∵AC＝BD，∴MH＝NH，∴∠HMN＝∠HNM，∵MH∥AC，HN∥BD，∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG.
如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　　)A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长先增大后减小
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为______cm.
【中考·广州】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．几何语言(如图)： ∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．DE= BC．
注意：(1)位置关系：平行于第三边，(2)数量关系：等于第三边的一半拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的 中位线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底 边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般 的三角形并没有底边．(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系； 可以证明两直线平行.
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm.
易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长