冀教版八年级下册第二十一章 一次函数21.1 一次函数优质课件ppt

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一次函数的定义确定应用问题中的一次函数表达式
函数可以用来刻画数景之间的关系，一次函数是一种重要的函数. 现在，我们来探究一次函数.
在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中，小刚家到学校的路程为3.5 km，小刚骑车的速度为0.2 km/min.设小刚距学校的路程为s km,离 开家的时间为t min.
一起探究(1)写出s与t之间的函数关系式，并指出其中的常量与变量.(2)写出t的取值范围.(3)对比正比例函数，它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点？
一般地，解决行程类的问题时，常常借助如下图示来分析.分析上图，容易看出，s与t的函数关系式为s=3.5-0.2t.其中， 3.5，0.2是常量，s与t是变量.如果将t作为自变量，那么s是t的函数.因为3.5-0.2t≥0,所以成t≤17.5.所以t的取值范围为0 ≤ t ≤ 17.5.
1. 某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴，每月1.60元/平方米；有汽车的房主再交车库使用费，每月80元.设有车房主的住房面积为x m2, 每月应缴物业管理费与车库使用费的总和为y元，则用x表示y的函数表达式为______________.2. 向一个已装有10 dm3水的容器中再注水，注水速度为2 dm3/min.容器内的水量y(dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为______________.
3. 一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是，以厘米 为单位量出身高值h，减常数105,所得差是G的值.用 h表示G的函数表达式为______________. 从上面问题中，我们分别得到了函数表达式： s=3.5-0.2t，y=1.6x+80，y=2x+10，G=h-105. 这些函数表达式的形式有什么共同特点？与同学交流你的看法.
一般地，我们把形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数.对于一次函数； y=kx+b，当b=0时，它就化为y=kx.所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式.
例1 下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y＝－2x2；　(2)y＝ ；(3)y＝3x2－x(3x－2)；(4)x2＋y＝1；　(5)y＝－ .
导引：先看函数表达式是否为整式，再通过恒等变形进行化简，然后根据一次函数和正比例函数的定义进行判断．
解：(1)因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数.(2)因为y＝ ＝ x＋ ，k＝ ≠0，b＝ ，所以 y＝ 是一次函数，但不是正比例函数．(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它 是一次函数，也是正比例函数．(4)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因为x的次数是2，所以x2＋y ＝1不是一次函数．(5)因为y＝－ 中 不是整式，不符合y＝kx＋b的形 式，所以它不是一次函数.
判断函数是否为一次函数的方法：先看函数表达式是否是整式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式y＝kx＋b的特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数.
1 在下列函数中，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值.(1) y=2-x; (2) (3) s=8+0.03t;(4) (5) (6)
解：(1)(3)(4)(5)是一次函数．(1)中k＝－1，b＝2；(3)中的k＝0.03，b＝8；(4)中的k＝ ，b＝0；(5)中的k＝ ，b＝－3.
在下列函数中，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值.
解：(1)(2)(4)是一次函数．(1)中的k＝－1，b＝ ；(2)中的k＝2π，b＝0；(4)中的k＝0.5，b＝ .
3 下列函数中，y是x的一次函数的是(　　)A．y＝x2＋2x　　 B．y＝－C．y＝x D．y＝ ＋14 下列函数：①y＝2x－1；②y＝πx；③y＝ ；④y＝x2中，一次函数的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
5 已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　　)A．－3 B．3 C．±3 D．±26 若3y－4与2x－5成正比例，则y是x的(　　)A．正比例函数 B．一次函数C．没有函数关系 D．以上均不正确
7 下列说法正确的是(　　)A．正比例函数是一次函数B．一次函数是正比例函数C．对于变量x与y，y是x的函数，x不是y的函数D．正比例函数不是一次函数，一次函数也不是正比例函数
例2 已知关于x的函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m满足什么条件时，(1)这个函数是正比例函数？(2)这个函数为一次函数？
导引：根据正比例函数和一次函数的定义求解即可．
解：(1)∵函数y＝(2m－1)x＋1－3m是正比例函数，∴1－3m＝0，2m－1≠0，∴m＝ .∴当m＝ 时，这个函数是正比例函数．(2)∵函数y＝(2m－1)x＋1－3m是一次函数，∴2m－1≠0，解得m≠ .∴当m≠ 时，这个函数为一次函数.
一次函数y＝kx＋b中k、b为常数，k≠0，自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就化为正比例函数y＝kx.
1 已知一次函数y=-2x +3.(1) 当x为何值时，y=0？(2) 当y为何值时，x=0？
解： (1)对于一次函数y＝－2x＋3，令y＝0，即－2x＋3＝0，解得x＝ .所以当x＝ 时，y＝0.(2)将x＝0代入y＝－2x＋3中，得y＝－2×0＋3＝3.所以当y＝3时，x＝0.
确定应用问题中的一次函数表达式
当“条件”中明确是一次函数关系时，可利用关系式y=kx+b求解，依据已知求得k、b的值就可以了；当“条件”中未明确是一次函数关系时(一般情况是实际应用题)，我们应依据已知中的基本数量列出等量关系(类似列方程解应用题)，再整理成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式.注意：在列出有关实际问题的一次函数关系式时，应标注自变量的取值范围．
例3 如图所示， △ABC是边长为x的等边三角形. (1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式. h是x的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的k与b的值.(2) 当h= 时，求x的值. (3)求△ABC的面积S与x之间的函数关系式. S是x的一次函数吗？
解：(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，所以 BD= .在Rt△ABD中，由勾股定理，得 即 所以h是x的一次函数，且 .
(2)当 时，有 . 解得x=2.(3)因为 即 所以S不是x的一次函数.
已知两条平行线l1，l2之间的距离为3 cm，点A在l1上，点B，C在l2上，BC=x. 求△ABC的面积S与x的函数关系式，并判断这个函数是不是一次函数.
解： S＝ ·BC·3＝ x，这个函数是一次函数．
2 一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长均减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x之间的函数表达式是(　　)A．y＝12－4x B．y＝4x－12C．y＝12－x D．以上都不对
3 如图，图像表示的一次函数表达式为(　　)A．y＝－x－5 B．y＝x－5C．y＝x＋5 D．y＝－x＋5
正比例函数与一次函数的关系正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数，用图形表示它们之间的关系如图所示：一次函数y=kx+b (k≠0) ，当b=0时是特殊的一次函数(即正比例函数)，当b ≠ 0时是一般的一次函数.