初中数学冀教版八年级下册21.5 一次函数与二元一次方程的关系一等奖课件ppt

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一次函数与二元一次方程的关系一次函数与二元一次方程组的关系
如图所示，是某次100米训练赛中飞人博尔特与队友所跑的路程s(米)和所用时间t(秒)的函数图像. 观察图像，你能获取哪些信息?
一次函数与二元一次方程的关系
1. 二元一次方程y-x=1有多少个解？你能写出方程的 几组解吗?2. 二元一次方程y-x=1可以写成一次函数吗？3. 画出一次函数y=x+1的图像。4. 把1题中方程的几组解为坐标的点在3题坐标系上描 出来，你发现了什么?5. 一次函数y=x+1的图像上的点的坐标适合二元一次 方程y-x=1吗？
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上. 反过来，一次函数图像上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.
例1 [中考·呼和浩特]如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　)
对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线x－2y＝2与两坐标轴的交点坐标是(0，－1)，(2，0)．对照四个选项中的直线，可知选C.
直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中，当y＝0时x的值；直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中，当x＝0时y的值．解这类题，常运用数形结合思想．
1 把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图像.
图像如图所示．
2 写出二元一次方程2x-y=1的三个解，以方程的解为坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上？
2x－y＝1的解有画图略．这些点均在一次函数y＝2x－1的图像上．
3 把二元一次方程2(x-3)+y=0改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图像.
y＝－2x＋6.图像如图所示．
4 以二元一次方程3x－4y＝8的解为坐标的所有点组成的图像也是一次函数y＝____________的图像．5 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x－y＝2的解的是(　　)
6 若二元一次方程3x－2y＝1所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是(　　)A．(1，1)　 B．(－1，－1)　C．(－3，－5)　 D.
一次函数与二元一次方程组的关系
探究一次函数与二元一次方程组的关系1. 解方程组2. 在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和y=-x+1 的图像。
是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
二元一次方程组的解是这两个方程所对应的一次函数图像的交点坐标。 反之，两个一次函数图像的交点坐标是这两个一次函数所对应的二元一次方程组的解。想一想 若二元一次方程组无解，那么这两个方程所对应的一次函数图像---------。
例2 利用图像法解二元一次方程组：
列表得：过点(0，－2)和(1，1)画出直线l1，再过点(0，2)和(1，1)画出直线l2，如图所示，由图像知两条直线交点的坐标为(1，1)，∴原方程组的解为
用图像法解二元一次方程组的基本步骤：(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b的 形式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)利用图像的直观性确定交点坐标．
1 已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点P(1，2).(1)直接写出方程组 的解.(2)求a，b的值.
(1)(2)将 代入 可得所以a＝－3，b＝3.
2 解方程组 并由此指出在同一直角坐标系内，一次函数y=2x-2与y=-2x+6图像交点的坐标.
解方程组得由此得两函数图像交点的坐标为(2，2)．
3 已知一次函数y1＝2x－1和y2＝－x－1的图像如图所示，根据图像填空．当x_______时，y1＝y2；当 x________时，y1＜y2；方程组 的解是________．
4 如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图像与正比例函数y＝2x的图像相交于点P，能表示这个一次函数图像的方程是(　　)A．3x－2y＋3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y＋7＝0 D．3x＋2y－7＝0
5 若二元一次方程y＝2x＋a与y＝－x＋b对应的直线都经过点A(－2，0)，且与y轴分别交于点B，C，则△ABC的面积是(　　)A．4 B．5 C．6 D．7
6 用图像法解方程组 正确的是(　　)
7 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图像相交于点A(m，3)，则不等式2x≥ax＋4的解集为(　　)A．x≤3 B．x≥3 C．x≤ D．x≥
8 用一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图像如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③x＜3时，y1＜y2； ④方程组 的解是 其中正确的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
例3 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图像交于点A，如图所示，且方程组 的解为点B的坐标为(0，－1)，请你确定这两个一次函数的表达式．
要确定这两个一次函数的表达式，需确定交点A的坐标，而交点A的坐标即为已知方程组的解．因此用待定系数法可求得k，b，a的值，进而确定两个一次函数的表达式．
因为方程组 的解为所以交点A的坐标为(2，1)，所以2a＋2＝1，解得a＝－ .又因为函数y＝kx＋b的图像过交点A(2，1)和点B(0，－1)，所以 解得所以这两个一次函数的表达式分别为y＝－ x＋2，y＝x－1.
“交点”是解决问题的关键，从“形”的角度讲，它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值也相等的点；从“数”的角度讲，它是两个函数表达式的公共解，即二元一次方程组的解．
已知关于x，y的方程组 的解为(1)写出一次函数y=-x+1和的图像交点P的坐标.(2)若这两个函数的图像与x轴分别交于点A，B， 求S △ABP
(1) P(－1，2)．(2)一次函数y＝－x＋1的图像与x轴的交点坐标为(1，0)，将(－1，2)代入y＝－ x ＋ ，可得2＝－×(－1)＋ ，解得a＝－2.一次函数y＝ x＋ 的图像与x轴的交点坐标为(－4，0)．所以AB＝5.所以S△ABP＝ ×5×2＝5.
1. 二元一次方程组无解⇔一次函数的图像平行(无交 点)； 二元一次方程组有一组解⇔一次函数的图像相交(有 一个交点) ； 二元一次方程组有无数组解⇔一次函数的图像重合 (有无数个交点).
2. 一次函数与二元一次方程之间的区别和联系： 区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数 有两个变量；(2)二元一次方程是用一个等式表示两 个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表 示两个变量之间的关系，又可以用表格或图像来表 示两个变量之间的关系． 联系：在平面直角坐标系中分别描出以二元一次方 程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的 图像上．
易错点：审题不仔细，没有按照要求解题
由x＋2y＝4，可得y＝－ x＋2.由x－y＝1，可得y＝x－1.在同一直角坐标系内作出一次函数y＝－ x＋2的图像l1和y＝x－1的图像l2，如图所示，通过观察可得l1和l2的交点坐标为(2，1)．所以原方程组的解为