2021元旦假期作业:人教版八年级数学上册常考题型过关训练 解析版
展开
2021元旦假期作业:人教版八年级数学上册常考题型过关训练
一、选择题
1.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.长度分别为3,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.(a2)3=a6 C.a6÷a2=a3 D.23=6
4.点关于y轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )
A.AC=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD
6.下列因式分解结果正确的是( )
A.x2+3x+2=x(x+3)+2 B.4x2﹣9=(4x+3)(4x﹣3)
C.a2﹣2a+1=(a+1)2 D.x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)
7.如图,△AOC≌△BOD,点A与点B是对应点,那么下列结论中错误的是( )
A.AB=CD B.AC=BD C.AO=BO D.∠A=∠B
8.小时候我们用肥皂水吹泡泡,其泡沫的厚度约0.000326毫米,用科学记数法表示为( )
A.3.26×10﹣4毫米 B.0.326×10﹣4毫米
C.3.26×10﹣4厘米 D.32.6×10﹣4厘米
9.分式方程的解是( )
A. B. C. D.
10.如图所示,要使一个六边形木架在同一平面内不变形,至少还要再钉上( )根木条.
A. B. C. D.
11.如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为( )
A.13 B.16 C.8 D.10
12.如图,点是平分线上的一点,,垂足为D,若,则点到边的距离是( )
A. B.3 C.5 D.4
13.已知=3,则代数式的值是( )
A. B. C. D.
14.若,,是的三边长,且,则的形状是( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.不能确定
二、填空题
15.要使分式有意义,则x的取值范围为_____.
16.因式分解:=______.
17.一个等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角的度数是_____.
18.若,,则________________.
19.如果多边形的每个内角都等于,则它的边数为______.
20.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为边BC上的点,连接AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是_____.
三、解答题
21.计算:(1) (2)
22.分解因式:
(1)ax2﹣9a (2)4ab2﹣4a2b﹣b3.
23.解下列分式方程:
(1) (2)
24.如图,,.求证:.
25.如图,已知△ABC,AC<BC,
(1)尺规作图:作△ABC的边BC上的高AD(不写作法,保留作图痕迹).
(2)试用尺规作图的方法在线段BC上确定一点P,使PA+PC=BC,并说明理由.
26.某校为创建“书香校园”,购置了一批图书,已知购买科普类图书花费10000元,购买文学类图书花费9000元,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元,且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相等.求科普类图书平均每本的价格.
27.如图,已知:,,,垂足分别为C,D,AC与BD相交于点O.
求证:(1)AD=BC;
(2).
28.已知代数式
(1)化简A;
(2)若满足,求代数式的值.
29.如图,在平面直角坐标系中,A(2,4),B(3,1),C(﹣2,﹣1).
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标;
(2)求△ABC的面积.
30.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60公里,再由乙队完成剩下的筑路工程,已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍,甲队比乙队多筑路20天.
(1)求乙队筑路的总公里数;
(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5:8,求乙队平均每天筑路多少公里.
31.如图所示,点是线段的中点,,.
(1)如图1,若,求证是等边三角形;
(2)如图1,在(1)的条件下,若点在射线上,点在点右侧,且是等边三角形,的延长线交直线于点,求的长度;
(3)如图2,在(1)的条件下,若点在线段上,是等边三角形,且点沿着线段从点运动到点,点随之运动,求点的运动路径的长度.
32.如图,在△ABC中,AB=AC=18cm,BC=10cm,AD=2BD.
(1)如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过2s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
参考答案
1.B
【分析】
根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称,进而得出答案.
【详解】
解:A、不是轴对称图形,故A错误;
B、是轴对称图形,故B正确;
C、不是轴对称图形,故C错误;
D、不是轴对称图形,故D错误.
故选:B.
【点睛】
此题主要考查轴对称图形的识别,解题的关键是熟知轴对称图形的定义.
2.D
【分析】
根据三角形任意两边之和大于第三边,两边只差小于第三边,解答即可.
【详解】
∵3+7=10>x,7-3=4<x,∴第三边长的范围是:4<x<10.
故答案是D.
【点睛】
本题考查三角形边长之间的关系,熟练掌握三边之间的关系是解决本题的关键.
3.B
【分析】
结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方等运算,然后选择正确选项.
【详解】
解:A、a2•a3=a5,原式错误,故本选项错误;
B、(a2)3=a6,计算正确,故本选项正确;
C、a6÷a2=a4,原式错误,故本选项错误;
D、23=8,原式错误,故本选项错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方等知识,掌握运算法则是解题的关键.
4.D
【解析】
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于y轴的对称点的坐标是(-x,y),即关于纵轴的对称点,纵坐标不变,横坐标变成相反数;这样就可以求出A的对称点的坐标,从而可以确定所在象限.
【详解】
∵点P(1,-2)关于y轴对称,
∴点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2).
故选:D.
【点睛】
此题考查关于y轴对称的点的坐标,解题关键在于掌握其定义.
5.A
【分析】
根据全等三角形的判定:SAS,AAS,ASA,可得答案.
【详解】
解:由题意,得∠ABC=∠BAD,AB=BA,
A、∠ABC=∠BAD,AB=BA,AC=BD,(SSA)三角形不全等,故A错误;
B、在△ABC与△BAD中, ,△ABC≌△BAD(ASA),故B正确;
C、在△ABC与△BAD中, ,△ABC≌△BAD(AAS),故C正确;
D、在△ABC与△BAD中, ,△ABC≌△BAD(SAS),故D正确;
故选:A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
6.D
【分析】
根据因式分解的方法进行计算即可判断.
【详解】
A.因为x2+3x+2=(x+1)(x+2),故A错误;
B.因为4x2﹣9=(2x+3)(2x﹣3),故B错误;
C.因为a2﹣2a+1=(a﹣1)2,故C错误;
D.因为x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3),故D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查了因式分解-十字相乘法、公式法,解决本题的关键是掌握因式分解的方法.
7.A
【分析】
根据全等三角形的对应边、对应角相等,可得出正确的结论,可得出答案.
【详解】
∵△AOC≌△BOD,
∴∠A=∠B,AO=BO,AC=BD,
∴B、C、D均正确,
而AB、CD不是不是对应边,且CO≠AO,
∴AB≠CD,
故选A.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边、角相等是解题的关键.
8.A
【解析】
分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
详解:0.000326毫米,用科学记数法表示为3.26×10-4毫米.
故选A.
点睛:本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
9.C
【分析】
本题考查解分式方程的能力,观察方程可得最简公分母是:x(x-2),两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答.
【详解】
方程两边同乘以x(x-2),
得x=3(x-2),
解得x=3.
经检验:x=3是原方程的解.
故选:C.
【点睛】
此题考查解分式方程,解题关键在于把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根.
10.C
【分析】
从一个多边形的一个顶点出发,能做(n-3)条对角线,把三角形分成(n-2)个三角形.
【详解】
解:根据三角形的稳定性,要使六边形木架不变形,至少再钉上3根木条;
要使一个n边形木架不变形,至少再钉上(n-3)根木条.
故选:C.
【点睛】
本题考查了多边形以及三角形的稳定性;掌握从一个顶点把多边形分成三角形的对角线条数是n-3.
11.A
【分析】
由于△ABC是等腰三角形,底边BC=5,周长为21,由此求出AC=AB=8,又DE是AB的垂直平分线,根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE,由此得到△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB,然后利用已知条件即可求出结果.
【详解】
解:∵△ABC是等腰三角形,底边BC=5,周长为21,
∴AC=AB=8,
又∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB=13,
∴△BEC的周长为13.
故选A.
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
12.B
【分析】
作PE⊥OA于E,根据角平分线的性质即可求得.
【详解】
作PE⊥OA于E
∵点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA
∴PE=PD=3
故选B.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
13.D
【分析】
由得出,即,整体代入原式,计算可得.
【详解】
,
,
,
则原式.
故选:.
【点睛】
本题主要考查分式的加减法,解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.
14.C
【分析】
首先利用完全平方公式对等式进行变形,然后利用平方的非负性得出a、b、c的数量关系,即可判定.
【详解】
解:∵,
∴2,
∴,
∴a=b=c
∴这个三角形是等边三角形.
故选:C.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定及因式分解的应用,掌握公式特点对等式进行变形是解题的关键.
15.x≠﹣2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0,解这个不等式即可求出答案.
【详解】由题意可知:x+2≠0,
∴x≠﹣2,
故答案为x≠﹣2.
【点睛】本题考查分式有意义的条件,解题的关键是正确理解分式有意义的条件:分母不为0.
16.2(x+3)(x﹣3).
【解析】
试题分析:先提公因式2后,再利用平方差公式分解即可,即=2(x2-9)=2(x+3)(x-3).
考点:因式分解.
17.50°或80°
【解析】
【分析】
等腰三角形一内角为50°,不确定是顶角还是底角,所以分两种情况讨论.
【详解】
解:(1)当50°角为顶角时,顶角度数即为50°;
(2)当50°角为底角时,顶角=180°﹣2×50°=80°;
故本题答案为:50°或80°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;因题目中没有明确50°角是顶角还是底角的度数,所以要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键.
18.200
【分析】
直接逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算得出答案.
【详解】
解:∵3m=5,3n=8,
∴==25×8=200.
故答案为:200.
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算,正确掌握运算法则是解题关键.
19.12
【分析】
先求出这个多边形的每一个外角的度数,再用360°除以外角的度数即可得到边数.
【详解】
∵多边形的每一个内角都等于150°,∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°=30°,∴边数n=360°÷30°=12.
故答案为12.
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角的关系,求出每一个外角的度数是解答本题的关键.
20.2
【分析】
如图,作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F,点D为AC的中点,根据折叠的性质得AD=AB=3,∠BAM=∠CAM,则AC=2AD=6,根据角平分线定理得ME=MF,然后利用面积法得到MF•AB+ME•AC=AB•AC,即3ME+6ME=3×6,解得ME=2.
【详解】
如图,
作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F,点D为AC的中点,
∵△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点D处,
∴AD=AB=3,∠BAM=∠CAM=45,
∴AC=2AD=6,ME=MF,
∵S△ABM+S△AMC=S△ABC,
∴MFAB+MEAC=ABAC,
∴3ME+6ME=3×6,
∴ME=2,
即点M到AC的距离是2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查的知识点是翻折变换(折叠问题),解题的关键是熟练的掌握翻折变换(折叠问题).
21.(1);(2)
【分析】
(1)原式利用积的乘方以及单项式乘除多项式法则计算即可得到结果;
(2)括号内利用完全平方公式及平方差公式进行计算,再用多项式除以单项式法则计算,即可得到结果;
【详解】
解:(1)
=
=
(2)
=
=
=
【点睛】
此题考查了整式的混合运算,熟练掌握乘法公式及运算法则是解本题的关键.
22.(1)a(x+3)(x﹣3);(2)﹣b(2a﹣b)2.
【分析】
(1)原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
(1)ax2﹣9a
=a(x2﹣9)
=a(x+3)(x﹣3);
(2)4ab2﹣4a2b﹣b3
=﹣b(b2﹣4ab+4a2)
=﹣b(2a﹣b)2.
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
23.(1)x=-2;(2)无解
【分析】
(1)等式两边同时乘,得,再解此一元一次方程即可;
(2)等式两边同乘,得,解此方程即可.
【详解】
(1)解:,
等式两边同时乘,
得:,
解得:
检验:当x=-2时,x(x-1)≠0,x=-2是原方程的解;
(2)解:,
等式两边同乘,
得:
解得:,
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0,x=-2是增根,
故:原方程无解.
【点睛】
此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.需要注意解分式方程一定要验根.
24.详见解析
【分析】
根据全等三角形的判定求证△ACD≌△ADB,继而由全等三角形的性质即可求证结论.
【详解】
∵在△ACD和△ADB中
∴△ACD≌△ADB(SAS)
∴∠C=∠D(全等三角形对应角相等)
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法:SAS.
25.(1)见解析;(2)作图见解析,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)直接利用过一点作已知直线的垂线的作法即可得出答案;
(2)利用线段垂直平分线的作法与性质得出答案.
【详解】
(1)如图所示:AD即为所求;
(2)如图所示:点P即为所求.
理由:∵MN垂直平分线段AB,
∴AP=BP,
∴PA+PC=BP+PC=BC.
【点睛】
此题主要考查了复杂作图,正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键.
26.50
【解析】
【分析】
设科普类图书平均每本的价格为x元,则文学类图书平均每本的价格为(x﹣5)元,根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书和用9000元购买文学类图书数量相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验即可得出结论.
【详解】
设科普类图书平均每本的价格为x元,则文学类图书平均每本的价格为(x﹣5)元,
根据题意得:,
解得:x=50,
经检验,x=50是所列分式方程的解,且符合题意.
答:科普类图书平均每本的价格为50元.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式是解题的关键.
27.见解析
【分析】
(1)利用HL定理可证得Rt△ADB≌Rt△BCA,由全等三角形的性质可得结论;
(2)由(1)的结论,利用AAS定理,可得△ADO≌△BCO,即可证得结论.
【详解】
(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠ADB=∠BCA=90°,
在Rt△ADB与Rt△BCA中,
,
∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL),
∴BC=AD;
(2)在△ADO与△BCO中,
,
∴△ADO≌△BCO(AAS),
∴.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质,掌握判定定理是解题的关键.
28.(1);(2)
【分析】
(1)根据分式的加减进行计算即可求解;
(2)解关于a的方程得a=-1,代入即可求解.
【详解】
解:(1)
;
(2)∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查分式的加减运算和化简求值,能正确进行分式的加减,并求出a的值是解题关键.
29.(1)见解析,A1(2,﹣4),B1(3,﹣1),C1(﹣2,1).(2)
【分析】
(1)利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置,进而得出答案;
(2)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积,进而得出答案.
【详解】
(1)如图所示:△A1B1C1即为所求,A1(2,﹣4),B1(3,﹣1),C1(﹣2,1).
(2)S△ABC=5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5=.
【点睛】
本题考查了轴对称变换、三角形的面积等知识,解题的关键是正确得出对应点的位置.
30.(1)80;(2)0.8.
【解析】
试题分析:(1)根据乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍列式计算即可得;
(2)设甲队平均每天筑路5x千米,则乙队平均每天筑路8x千米,根据题意可得等量关系:甲队筑路用的天数-20=乙队筑路用的天数,列出方程解方程即可.
试题解析:(1)60× =80(千米),即乙队筑路的总千米数为80千米.
(2)设甲队平均每天筑路5x千米,则乙队平均每天筑路8x千米,
根据题意,得,
解得x=,
经检验,x=是原分式方程的解且符合题意,
×8=,
答:乙队平均每天筑路千米.
【点睛】本题考查了分式方程的应用,关键是弄懂题意,找出题中的数量关系,根据数量关系确定等量关系.
31.(1)证明见解析;(2)18;(3)18.
【分析】
(1)利用垂直平分线的性质可得BA=BC,再得,即可证明是等边三角形;
(2)证明,得出,继而得到,即可求得PC的长度;
(3)取BC的中点H,分两种情况证明,得出或,可知点N的运动路径是一条线段,据此求解即可.
【详解】
解:(1)∵,,
,
是线段中点,,
,
是等边三角形;
(2)∵、是等边三角形,
∴,AB=BC,BD=BQ,,
∴,
∴,
,
,
,
,
,
;
(3)取BC的中点H,连接OH,连接CN,
分两种情况讨论:
当M在线段上时,如图2,
∵H是BC的中点,,
∴,
∴是等边三角形,
∵是等边三角形,
∴,OM=ON, ,
∴,
∴,
点从起点到作直线运动,
∵当点M在点B时,CN=BH=9,
∴点M从B运动到H时,点N运动路径的长度等于9;
当点M在线段上时,如图3,
∵H是BC的中点,,
∴,
∴是等边三角形,
∵是等边三角形,
∴,OM=ON, ,
∴,
∴,
点从到终点作直线运动,
∵当点M在点C时,CN=CH=9,
∴点M从H运动到C时,点N运动路径的长度等于9;
综上所述,的路径长度为:.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定,发现或构造全等三角形是解题的关键,本题难度较大,旨在培养学生综合运用所学知识解决复杂问题的能力.
32.(1)①△BPD与△CQP全等,理由见解析;②当点Q的运动速度为cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等;(2)经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇.
【分析】
(1)①由“SAS”可证△BPD≌△CQP;
②由全等三角形的性质可得BP=PC=BC=5cm,BD=CQ=6cm,可求解;
(2)设经过x秒,点P与点Q第一次相遇,列出方程可求解.
【详解】
解:(1)①△BPD与△CQP全等,
理由如下:∵AB=AC=18cm,AD=2BD,
∴AD=12cm,BD=6cm,∠B=∠C,
∵经过2s后,BP=4cm,CQ=4cm,
∴BP=CQ,CP=6cm=BD,
在△BPD和△CQP中,
,
∴△BPD≌△CQP(SAS),
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,
∴BP≠CQ,
∵△BPD与△CQP全等,∠B=∠C,
∴BP=PC=BC=5cm,BD=CQ=6cm,
∴t=,
∴点Q的运动速度=cm/s,
∴当点Q的运动速度为cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等;
(2)设经过x秒,点P与点Q第一次相遇,
由题意可得:x﹣2x=36,
解得:x=90,
点P沿△ABC跑一圈需要(s)
∴90﹣23×3=21(s),
∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,一元一次方程的应用,掌握全等三角形的判定是本题的关键.