2021年九年级中考专题复习锐角三角函数

 锐角三角函数

1. 下列式子错误的是(　　)

A. cos40°＝sin50°  B. tan15°·tan75°＝1

C. sin225°＋cos225°＝1  D. sin60°＝2sin30°

【解析】逐项分析如下：选D

2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm.则BC的长度为(　　)

A. 6 cm             B. 7 cm            C. 8 cm             D. 9 cm

【解析】∵sinA＝＝，∴设BC＝4a，则AB＝5a，AC＝＝3a，

∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8 cm.

3. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(　　)

A.            B.           C.          D.   

【解析】A　【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝.

4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα=          

【解析】如解图，过点A作AB⊥x轴于点B，

∵A(4，3)，∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝＝5，∴cosα＝＝.，选D

5. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为 (　　)

A.米    B.米    C.米    D.米

【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则BD=1.5+0.3=1.8(米).

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=，所以AB===.故选B.

6. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(　　)

A. 斜坡AB的坡度是10° 　 　　　　B. 斜坡AB的坡度是tan10°

C. AC＝1.2tan10° 米                D. AB＝ 米

【解析】选B

∵斜坡AB的坡角是10°，∴选项A是错误的；

∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴选项B是正确的；

∵AC＝ 米，∴选项C是错误的；

∵AB＝ 米，∴选项D是错误的．

7. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　)

A.  米2                  B.  米2

C. (4＋) 米2              D.  (4＋4tanθ) 米2

【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝θ，CA＝4米，

∴BC＝CA·tanθ＝4tanθ.地毯长为(4＋4tanθ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tanθ)×1＝(4＋4tanθ)米2.

选D

8. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 m，则鱼竿转过的角度是(　　)

A. 60°  B. 45°  C. 15°  D. 90°

【解析】∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB′＝45°，

∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，

∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°，故选C

9. 如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(　　)

A. (sinα，sinα)        B. (cosα，cosα)        C. (cosα，sinα)        D. (sinα，cosα)

【解析】C　【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．

10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则(　　)

A. x－y2＝3        B. 2x－y2＝9       C. 3x－y2＝15      D. 4x－y2＝21

【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.

∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，

又∵E是AC的中点，EG⊥BC，

∴EG∥AF，∴CG＝FG＝CF＝3，

∵在Rt△CEG中，tanC＝，

∴EG＝CG×tanC＝3y；

∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，

∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，

∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，

∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.

故选B

11. 已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝________．

【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．

根据题意，得|sinα－|＝0，＝0，

则sinα ＝，tanβ ＝1，

又因为α、β均为锐角，

则α＝30°，β＝45°，

所以α＋β＝30°＋45°＝75°.

12. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为　　　　m(精确到0.1 m).(参考数据:sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 

【解析】由题可知BC=6 m，CD=1.5 m，

过D作DE∥BC交AB于点E，易知四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=6 m，

在Rt△ADE中，AE=DE·tan53°≈7.98(m)，EB=CD=1.5 m，

∴AB=AE+EB=9.48(m)≈9.5 m.

13. 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝9海里．

∵∠B＝55°， sinB＝，∴0.8＝，∴PB≈11海里．

14. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1 m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

【解析】如解图，作AD⊥MN于点D，

由题意得，AD＝1 m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，

∴BD＝＝＝7 m，CD＝＝＝＝5.6 m，

∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4 m.

15. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)

【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝30，

在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝90，

BC＝BD＋CD＝30＋90＝120≈208(米)．

16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.

(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)

【解析】连接CO并延长，交AB于点D，

∴CD⊥AB，且D为AB中点，所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.

在Rt△AOD中，∵AD=AB=3，∠OAD=41.3°，

∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈=4，

∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).

答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

17. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.

(1)求新坡面的坡角α；

(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

【解析】(1)∵新坡面AC的坡度为1∶，

∴tanα＝＝，

∴α＝30°.(2分)

答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)

(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．

理由如下：

如解图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，

∵坡面BC的坡度为1∶1，

∴BD＝CD＝6米，(4分)

∵新坡面AC的坡度为1∶，

∴CD∶AD＝1∶，

∴AD＝6米，(6分)

∴AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．

答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．(7分)

18. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会撞到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.54)

【分析】本题是一道锐角三角形函数的实际应用问题，关键是从实际问题抽象出数学模型．本题车门是否会碰到墙？实际上就是求点A到直线OB的距离，所以过点A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，利用锐角三角函数关系，可求得AC的长，与0.8米比较就可得出结论．

【解析】如解图，过点A作OB的垂线，垂足为C，在Rt△AOC中，sin∠AOC＝，(3分)

∴AC＝AO·sin40°＝1.2×0.64＝0.768.

∵0.768<0.8，∴车门不会碰到墙．(8分)

19. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73)．

【解析】∵tan∠OBC＝tan30°＝＝

∴OC＝BC

∵sin∠OAC＝sin75°＝≈0.97

∴≈0.97

∴BC≈67.1(cm)

20. 如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，CO的延长线交⊙O于点M，连接BD、DM.

(1)求证：AC＝DC；

(2)求证：BD∥CM；

(3)若sinB＝，求cos∠BDM的值．

【解析】

(1)证明：如解图，连接OD，

∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，

∴OA⊥AC，OD⊥CD，

在Rt△OAC和Rt△ODC中，，∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，

∴AC＝DC；

(2)证明：由(1)知，△OAC≌△ODC，

∴∠AOC＝∠DOC，

∴∠AOD＝2∠AOC，

∵∠AOD＝2∠OBD，

∴∠AOC＝∠OBD，

∴BD∥CM；

(3)∵BD∥CM，

∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，

∵OD＝OB＝OM，

∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，

∵∠DOC＝2∠DMO，

∴∠DOC＝2∠BDM，

∴∠B＝2∠BDM，

如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，

∴EF＝AE，

在Rt△EAO和Rt△EFO中，∵，∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，

∴OA＝OF，∠AOE＝∠AOC，

∴点F在⊙O上，

又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，∴∠AOE＝∠BDM，

设AE＝EF＝y，∵sinB＝，

∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝＝，

∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x，

在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，

∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，

∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2，解得y＝x，

∴在Rt△OAE中，OE＝＝＝x，

∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝＝＝