2021年九年级中考专题复习三角形中位线定理

三角形中位线定理
1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．CE＝BC B．DE＝AB C．∠AED＝∠C D．∠A＝∠C
【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，故B选项说法错误；
CE与BC不一定相等，故A选项说法错误；
BD与DE不一定相等，B选项说法错误；
由平行线的性质知∠AED＝∠C，故选项C说法正确；
∠A与∠C不一定相等，故选项D说法错误；
故选：C．

2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故选：B．

3．A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长为20m，则AB的长为（　　）

A．10m B．20m C．30m D．40m
【解析】∵点D，E是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝40m，
故选：D．

4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【解析】∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．

5．如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE＝CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】∵DE是△ABC的中位线，BF＝20，∴DE＝BF＝10，
∵CE＝CD，∴CD＝DE＝8，
∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝16，
故选：D．

6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5
【解析】∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，
∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴BF＝AB＝7，AE＝EF，
∵BC＝10，∴CF＝3，
∵点G是AC的中点，∴AG＝CG，
∴EG＝CF＝，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，BC＝20，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（　　）

A．10 B．12 C．13 D．20
【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝10，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣4＝6，
在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝12，
故选：B．

8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】∵D、E分别为AC、BC边上的中点，
∴BE＝BC＝4，DE是△ACB的中位线，∴DE＝AB＝3，
∵D、F分别为AC、AB边上的中点，
∴BF＝AB＝3，DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝4，
∴四边形BEDF的周长＝BE+DE+DF+BF＝4+3+4+3＝14，
故选：C．

9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．

10．如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（　　）

A．13 B．9 C．5 D．4
【解析】∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，
∴DG＝EF＝PC＝15＝，DE＝FG＝AB，
∵四边形DEFG的周长为28，
∴DE＝FG＝×（28﹣﹣）＝，∴AB＝13，
∵AP⊥BP，BP＝12，
∴AP＝＝＝5，
故选：C．
11．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD∥BC，∴∠GAC＝∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵∠AFG＝∠CFB，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF＝FG，AG＝BC＝3，
∴DG＝5﹣3＝2，
∵E是BD的中点，
∴EF＝DG＝1．
故选：A．

12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（　　）

A．2 B．5 C．4 D．10
【解析】过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，∴AD＝BD，
∵DE∥BC，∴AE＝CE，
∴DE＝BC，
∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，∴DF＝AH，
∵△DFE的面积为1，
∴DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，
∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝AC，
∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，∴BC＝＝2．
故选：A．

13．如图，已知线段AB，将线段AB沿某个方向平移4个单位得到线段DC，其中点D是A的对应点，且点D不在直线AB上．连接AC，BD交于点O，若E是CD中点，则OE的长度值是　 　．

【解析】如图，连接AD，BC，
根据平移的性质知：AD＝4，AB＝CD且AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，
∴O点是AC的中点，
∵E是CD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝AD＝2．

14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝　 　．

【解析】连接CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝2，
∵M、N分别是AB、AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC，
∵CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，
∴四边形NDCM是平行四边形，∴DN＝CM＝2，

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB＝6，则EF的长度为　 　．

【解析】在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3，
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF＝CD＝，

16．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的面积是　 　．

【解析】∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE＝5，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝×5×12＝30，
∵D是AB的中点，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积×＝15．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线．
①点M是边BC中点，则DM＝　 　；
②探究：点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN、ME，DN与ME相交于点O．
若△OMN是直角三角形，则DO的长是　 　．

【解析】（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，∴2AC2＝BC2＝202，∴AC＝10，
∵D，M分别是AB，BC的中点，∴DM＝AC＝5；
（2）如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，
此时∠MN′O′＝90°，

∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝10，
∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，
∵∠EFN′＝90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，
∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，
∴＝，∴＝，∴DO′＝；
当∠MON＝90°时，
∵△DOE∽△EFM，∴＝，
∵EM＝＝13，∴DO＝，
故答案为：或．
18．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．

证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．


19．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，求点P的坐标．


【解析】∵A（0，8）B（4，0），
∴AB＝4，
∵点M，N分别是OA，OB的中点，
∴MN∥AB，MN＝OB＝2，OM＝4，
∴点P的纵坐标为4，
∵△ABP是直角三角形，
∴∠APB＝90°或∠ABP＝90°，
①当∠APB＝90°时，则PN＝AB＝2，
∴PM＝2+2，
∴P（2+2，4），
②当∠ABP＝90°时，过点P作PC⊥x轴于C，则四边形MOCP是矩形，
过P作PC⊥x轴于C，
则△ABO∽△BPC，
∴＝＝1，
∴BP＝AB＝4，
∴PC＝OB＝4，
∴BC＝8，
∴PM＝OC＝4+8＝12，
∴P（12，4），
综上可得点P的坐标为（2+2，4）或（12，4）．


20．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连结EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为3，求△AEF的面积．

【解析】（1）∵DC＝AC，CF平行∠ACD，
∴F是AD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BC；
（2）∵EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BC，EF：BD＝1：2，
如图，连接DE，则S△DEF：S△DEB＝1：2，

又∵四边形BDFE的面积为3，
∴S△DEF＝1，
又∵F是AD的中点，
∴S△DEF＝S△AEF＝1．

21．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．

【解析】（1）∵AD是高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝3，AE＝AB＝3，
同理可得，AF＝DF＝AC＝2，
∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；
（2）EF垂直平分AD，
理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，
∴EF是AD的垂直平分线．

22．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
（1）若EF＝5cm，则AB＝　 　cm；若BC＝9cm，则DE＝　 　cm；
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．

【解析】（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又EF＝5cm，
∴AB＝10cm．
同理，DE＝BC＝4.5cm；
故答案是：10、4.5

（2）互相平分，
理由：如图，连接DF，
∵AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴中线AF与DE的关系是互相平分．

23．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．

【解析】（1）∵D、E分别是AB，AC的中点
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）
当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）