二次函数18精讲 专题15 二次函数中的矩形问题

专题15 二次函数中的矩形问题
1、如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【答案】（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【解析】
（1）∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；
当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
2、如图，抛物线 y＝﹣12x2+32x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C．
（1）求 A，B，C的坐标；
（2）直线 l：y＝﹣43x+2上有一点 D（m，﹣2），在图中画出直线 l和点 D，并判断四边形ACBD的形状，说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0）；B（4，0）；C（0，2）；（2）图形见解析；四边形ACBD为矩形．
【解析】（1）当x＝0时，y=-12x2+32x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．
当y＝0时，有-12x2+32x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）．
（2）∵点D（m，﹣2）在直线y=-43x+2上的，∴﹣2=-43m+2，解得：m＝3，∴点D的坐标为（3，﹣2）．
依照题意画出图形，设CD交AB于点E，如图所示，四边形ACBD为矩形．理由如下：
当y＝0时，有-43x+2＝0，解得：x=32，∴点E的坐标为（32，0）．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），D（3，﹣2），E（32，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，CD=（3-0）2+（-2-2）2=5，CE=（32-0）2+（0-2）2=52，AE=32-（﹣1）=52，∴AE=12AB，CE=12CD，∴AB＝CD，AB，CD互相平分，∴四边形ACBD为矩形．

3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
【解析】
【解析】（1）将B、C两点的坐标代入得：，
解得：；
所以二次函数的表达式为：.
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为，PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有；
连接PP′，则于E，
∵C，
∴，
又∵，
∴,
∴；
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为.

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P点坐标为，设直线BC的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
则Q点的坐标为；
当，
解得：，，
∴，，
，
＝
＝
＝
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．

4、如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】（1）当y=0时，13x-43=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得16a-12+c=0--32a=32，
解得a=1c=-4，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=13x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴PCPF=PBPE．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．


5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．
【分析】
（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解析】
（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），
∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），

∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），

∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣ ，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【小结】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
【解析】（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．

7、如图1，抛物线y=﹣33x2+233x+3与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（0，﹣3）．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：
①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；
②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣3x﹣3；（2）见解析（3）存在
【解析】（1）当y=0时，﹣33x2+233x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把A（﹣1，0），D（0，﹣3）代入得-k+b=0b=-3，解得k=-3b=-3，
∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣3；
（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，

∵OA=1，OD=3，
∴∠OAD=60°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF=60°，
∵点A 关于直线l的对称点为A′，
∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，
在Rt△A′EH中，EH=12EA′=12t，A′H=3EH=32t，
∴OH=OE+EH=t﹣1+12t=32t﹣1，
∴A′（32t﹣1，32 t）；
②把A′（32t﹣1，32 t）代入y=﹣33x2+233x+3得﹣33（32t﹣1）2+233（32t﹣1）+3=32t，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；
此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：
当t=2时，A′点的坐标为（2，3），E（1，0），
∵∠OEF=60°
∴OF=3OE=3，EF=2OE=2，
∴F（0，3），
∴A′F∥x轴，
∵A′F=BE=2，A′F∥BE，
∴四边形A′BEF为平行四边形，
而EF=BE=2，
∴四边形A′BEF为菱形；
（3）存在，如图：

当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则32t﹣1=3，解得t=83，则A′（3，433），
∵OE=t﹣1=53，
∴此时P点坐标为（53，433）；
当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，

∵∠AEA′=120°，
∴∠A′EB=60°，
∴∠EBA′=30°
∴BQ=3A′Q=3•32t=32t，
∴32t﹣1+32t=3，解得t=43，
此时A′（1，233），E（13，0），
点A′向左平移23个单位，向下平移233个单位得到点E，则点B（3，0）向左平移23个单位，向下平移233个单位得到点P，则P（73，﹣233），
综上所述，满足条件的P点坐标为（53，433）或（73，﹣233）．
8、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为点D.
(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于____；
(2)点E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．

【解析】 (1)将B点坐标(4，12)代入y＝x2＋bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；
(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；
(3)由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．
【解析】(2)∵二次函数y＝x2＋bx与x轴交于点E，∴E(－b，0)．
∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2) 2＋4.
∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x；
第1题答图
(3)如答图，过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.
∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.
∵D，
∴N，即N.
把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，
得＝＋b·，
解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2.
9、如图所示，直线y＝kx＋m分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)设N(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

【解析】 (1)由直线y＝kx＋m分别交y轴、x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；
(2)假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，可得M，N，则可得MN＝－＝－t2＋4t
＝－(t－2)2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
(3)根据平行四边形的性质即可求得答案．
【解析】(1)∵直线y＝kx＋m分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，
∴解得
∴直线的表达式为y＝－x＋2，
将A(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；
(2)存在．
假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，
由题意，得M，N，
∴MN＝－＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
第2题答图
(3)由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形．
当D在y轴上时，
设D的坐标为(0，a)，
由AD＝MN，得|a－2|＝4，
解得a1＝6，a2＝－2，
∴D(0，6)或D(0，－2)；
当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
∵直线D1N的表达式为y＝－x＋6，直线D2M的表达式为y＝x－2，
由两方程联立解得D(4，4)．
综上可得，D的坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)．
10、如图所示，抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.

(1)求点A，M的坐标；
(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
(3)当BD＝1时，
①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；
②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.
【解析】(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；
(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，
∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，
∴点F的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，
∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝，
∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；
(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．
第3题答图
设MF的表达式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，
得解得
∴y＝－3x＋18.
∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，
∴点A落在直线MF上；
②∵BD＝1，BC＝1，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴CD＝，CF＝OE＝3，
∴DP＝，PF＝，
根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为，如答图，过点G作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，∴EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，
故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE
＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)
＝∶2∶4
＝∶2∶4＝3∶4∶8.



11、如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC＝3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；
(2)过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E，由∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°得到Rt△BDO和Rt△BAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；
(3)根据题意可知N点在对称轴x＝1上，而A，B，M，N四点构成平行四边形符合题意的有三种情况：①BM∥AN，AM∥BN；②BN∥AM，AB∥MN；③BM∥AN，AB∥MN，然后根据平行直线k相同可以得到点M的坐标．
【解析】(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，
又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)，
把点B(－1，0)和A(2，－3)分别代入y＝ax2＋bx－3，
得 解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)如答图①，过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E.
∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，
∴Rt△BDO∽Rt△BAE，
∴OD∶OB＝AE：BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，
∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．

第4题答图① 　　　第4题答图②
(3)如答图②，M1(0，－3)，M2(－2，5)，M3(4，5)．
12、如图所示，顶点为的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．

　 原图　　　 备用图
(1)求抛物线的表达式；
(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝(k>0)图象上一点．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y＝a－，再把点M(2，0)代入，可求a＝1，所以抛物线的表达式可求；
(2)先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y＝(k>0)，考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB为边，如答图①，过点D作y轴的垂线，交y轴于点N，因此，∠BDN＝∠GAO＝45°，BD＝AB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求．② 菱形以AB为对角线，如答图②，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证△DBE是等腰直角三角形，所以设BE＝DE＝x，则DF＝x－2，DB＝x，在Rt△ADF中，AD＝BD＝x，AF＝x＋1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标(x，x－2)可求，k可求．
【解析】(1)依题意可设抛物线为y＝a－，将点M(2，0)代入可得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝－＝x2－x－2；
(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，当x＝0时，y＝－2，∴B(0，－2)．
在 Rt△OAB 中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.设直线 y ＝ x＋1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵点 C 在 y＝x＋1 上且在 x 轴下方，而 k>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：
第5题答图①
∴①菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图①所示，过点 D 作 DN⊥y 轴于点 N，
在 Rt△BDN 中，
∵∠DBN＝∠AGO ＝45°，
∴DN＝BN＝，
∴D，点D在y＝(k>0)的图象上，∴k＝－×＝＋.
②菱形以 AB 为对角线，如答图②所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y ＝ x＋1 于点 C，交 y＝的图象于点 D．再分别过点 D，B 作 DE⊥x 轴于点 F，BE⊥y 轴，DE 与 BE 相交于点 E.
在 Rt△BDE 中，同①可证∠AGO＝∠DBO ＝∠BDE＝ 45°，∴BE＝DE.设点 D 的坐标为(x，x－2)．
第5题答图②
∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝BE ＝x.∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝x.
∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，(x)2＝(x＋1)2＋(x－2)2，解得x＝，
∴点D的坐标为，点D在y＝(k>0)的图象上，
∴k＝.
综上所述，k的值为＋或.

13、如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6.
(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)连结BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；
(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．

【解析】 (1)利用OB＝OC＝6得到点B(6，0)，C(0，－6)，将其代入抛物线的表达可求出b，c的值，进而得到抛物线的表达式，最后通过配方得到顶点坐标；
(2)由于F为抛物线上一动点，∠FAB＝∠EDB，可以分两种情况求【解析】一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方．每一种情况都可以作FG⊥x轴于点G，构造Rt△AFG与Rt△DBE相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F的坐标．
(3)首先根据MN与x轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN在x轴上方；二是MN在x轴下方．设菱形对角线的交点T到x轴的距离为n，利用PQ＝MN，得到MT＝2n，进而得到点M的坐标为(2＋2n，n)，再由点M在抛物线上，得n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，求出n的值，最后可以求得MN＝2MT＝4n的两个值．
【解析】(1)∵OB＝OC＝6，∴B(6，0)，C(0，－6)．
∴ 解得∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－6.
∵y＝x2－2x－6＝(x－2)2－8，
∴点D的坐标为(2，－8)；
(2)如答图①，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为.过点F作FG⊥x轴于点G，易求得OA＝2，则AG＝x＋2，FG＝x2－2x－6.
第7题答图①
∵∠FAB＝∠EDB，
∴tan∠FAG＝tan∠EDB，
即 ＝，
解得x1＝7，x2＝－2(舍去)．
当x＝7时，y＝，
∴点F的坐标为.
当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为.
综上所述，点F的坐标为或.
(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0)．
如答图②，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点．
第7题答图②
∵PQ＝MN，∴MT＝2PT.设TP＝n，则MT＝2n.
∴M(2＋2n，n)．∵点M在抛物线上，
∴n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，即2n2－n－8＝0.
解得n1＝，n2＝(舍去)．
∴MN＝2MT＝4n＝＋1.
当MN在x轴下方时，设TP＝n，得M(2＋2n，－n)．
∵点M在抛物线上，
∴－n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，
即2n2＋n－8＝0.
解得n1＝，n2＝(舍去)．
∴MN＝2MT＝4n＝－1.
综上所述，菱形对角线MN的长为＋1或－1.