二次函数18精讲 专题13 二次函数中的三角形的综合问题

专题13 二次函数中的三角形的综合问题
1、如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝14x2+1 相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．

【解析】14x2+1＝kx+2，
14x2﹣kx﹣1＝0，
x＝2k±2k2+1，
∴x1＝2k﹣2k2+1，x2＝2k+2k2+1，
∴OD＝2k+2k2+1，OC＝2k2+1﹣2k，
DC2＝（2k+2k2+1+2k2+1﹣2k）2＝16（k2+1），
CF2＝22+（2 k2+1﹣2k）2＝8k2﹣8kk2+1+8，
DF2＝22+（2k+2k2+1）2＝8k2+8kk2+1+8，
∴DC2＝CF2+DF2，
∴∠CFD＝90°，
故△CFD 是直角三角形．

2、如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣12x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)① M（1，92），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.
【解析】【解析】（1）①y＝﹣12x2+x+4＝﹣12（x﹣1）2+92，
∴顶点M的坐标为（1，92），
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，
∴点N的坐标为（1，3）；
②不存在．理由如下：
MN＝92﹣3＝32，
设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣12m2+m+4），

PD＝﹣12m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣12m2+2m，
∵PD∥MN．
∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣12m2+2m＝32，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝3-12+3-12=22≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形，
即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+x+4；
②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，
则PD＝2xP＝4，
∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），
把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：16a+4b+c=0c=44a+2b+c=6，解得：a=-1b=3c=4，
故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．
3、如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)，抛物线经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①S=；②存在，
【解析】
（1）将代入抛物线的解析式得
解得
故抛物线的函数解析式为；
（2）
①如图，作于M，于N，则

，即



故S关于m的函数表达式为；
②
由二次函数的性质得：当时，S取得最大值，最大值为

，即
的对称轴为
则可设点
轴
点D与点A关于对称轴对称
，即
轴，且
由两点之间的距离公式得，

当时，为直角三角形
则点F纵坐标与点D纵坐标相等，即，因此，
当时，为直角三角形
则点F纵坐标与点Q纵坐标相等，即，因此，
当时，为直角三角形
由勾股定理得，，即
解得
则或
综上，存在这样的点F，所有符合条件的点F的坐标为或或或．

4、已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．
（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y＝13x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值616； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（-35，195）．
【解析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k=13，则：直线AC的表达式为：y=13x+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，-16m2-23m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP=12PG•OA=12•（-16m2-23m+2-13m﹣2）•6=-12m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P坐标为（﹣3，52）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，直线OP的表达式为：y=-56x，当x＝﹣2时，y=53，即：点M坐标为（﹣2，53），|PM﹣OM|的最大值为：(-3+2)2+(52-53)2-22+(53)2=616．
（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a=83，则：MC=103，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，12DH•MC=12MD•DC，即：DH×103=83×2，则：DH=85，HC=DC2-DH2=65，即：点D的坐标为（-65，185）；
设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6+3m10，m10），点D′坐标为（-65+3m10，185+m10），而点E坐标为（﹣6，2），则A'D'2=(-6+65)2+(185)2=36，A'E2=(3m10)2+(m10-2)2=m2-4m10+4，ED'2=(245+3m10)2+(85+m10)2=m2+32m10+1285．若△A′ED′为直角三角形，分三种情况讨论：
①当A'D'2+A'E2=ED'2时，36+m2-4m10+4=m2+32m10+1285，解得：m=2105，此时D′（-65+3m10，185+m10）为（0，4）；
②当A'D'2+ED'2=A'E2时，36+m2+32m10+1285=m2-4m10+4，解得：m=-8105，此时D′（-65+3m10，185+m10）为（－6，2）；
③当A'E2+ED'2=A'D'2时，m2-4m10+4+m2+32m10+1285=36，解得：m=-8105或m=105，此时D′（-65+3m10，185+m10）为（－6，2）或（-35，195）．
综上所述：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（-35，195）．

5、已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b.在同一平面直角坐标系中.
(1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；
(2)若函数y2的图象经过y1的顶点，
①求证：2a＋b＝0；
②当1 【解析】(1)由题意，得解得∴a＝1，b＝1；
(2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为，
∴a＋b＝，即b＝，
∵ab≠0，∴－b＝2a，
∴2a＋b＝0；
②∵b＝－2a，
∴y1＝ax，y2＝a，
∴y1－y2＝a，
∵1 ∴x－2<0，x－1>0，∴<0，
∴当a>0时，a<0，即y1 ∴当a<0时，a>0，即y1>y2.




6、如图所示，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
(1)求b，c的值；
(2)如图①，连结BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；

(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
【解析】 (1)根据二次函数的对称轴公式，将抛物线上的点代入，即可求出c的值；
(2)求F的对称点，代入直线BE，即可；
(3)构造新的二次函数，利用其性质求极值．
【解析】(1)∵CD∥x 轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为直线 l：x＝1.
∴－＝1，b＝－2，∵OB＝OC，C(0，c)．
∴点B的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，
解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3.
(2)设点F的坐标为(0，m)，∴对称轴为直线 l：x＝1，
∴点F关于直线的对称点F′的坐标为(2，m)．
∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，
∴用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.
∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)
(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，
则 PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.作QR ⊥PN，垂足为R，
∵SAPM＝S△PQN，∴(n＋1)(3－n)＝(－n2＋2n＋3)QR，
∴ QR＝1.①点Q在直线 PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N 点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，∴n＝ 时，NQ 取最小值．
此时Q点的坐标为.
②点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，∴n＝时，NQ取最小值．此时Q点的坐标为.
综上所述：满足题意的点Q的坐标为和.
7、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

　　　　　　　 原图 　　 备用图
【解析】(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为x＝＝1；
(2)∵直线l：y＝kx＋b过点A(－1，0)，∴k＝b，
∴l：y＝kx＋k，
又∵抛物线与直线l交于点A，∴ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，
∵CD＝4AC，∴D的横坐标为4，
∴－3－＝4，则k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；
(3)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，
第3题答图①
∴EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a，
∴S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝a－a，
∵a＜0，∴当x＝时，S△ACE去最大值，即－a＝，解得a＝－；
(4)以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，令 ax2－2ax－3a＝ax＋a，解得x1＝－1，x2＝4，
∴D(4，5a)，∵抛物线的对称轴为x＝1，设P(1，m)，
如答图②，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q(－4，21a)，
m＝21a＋5a＝26a，
∴AD2＋PD2＝AP2，52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2，
∴a＝－，P；

第3题答图
②如答图③，若AD是矩形APDQ的一条对角线，则易得Q(2，－3a)，
m＝5a－(－3a)＝8a，P＝(1，8a)，
∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，
∴a＝－，P(1，－4)．
综上所述，P的坐标为或(1，－4)．
8、如图所示，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC.

(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标．
【解析】(1)将点A，C的坐标代入函数表达式，即可求出b，c的值，通过配方法得到点M的坐标；
(2)点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的表达式，将x＝1代入求出点M在向下平移时与AC，AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
(3)由题意，可得∠MCP＝90°，若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P坐标．
【解析】(1)把点A(3，1)，C(0，4)分别代入二次函数y＝－x2＋bx＋c，得解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4，
配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点M的坐标为(1，5)；
(2)设直线AC的表达式为y＝kx＋n，把点A(3，1)，C(0，4)代入，得
解得
∴直线AC的表达式为y＝－x＋4.
如答图①，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E，F.
把x＝1代入直线AC的表达式y＝－x＋4，解得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，
∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；

① ②
第4题答图
(3)如答图②，连结MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)．
∵MG＝1，GC＝5－4＝1，
∴MC＝＝＝，
把y＝5代入y＝－x＋4，解得x＝－1，
则点N坐标为(－1，5)，∵NG＝GC，GM＝GC，
∴∠NCG＝∠GCM＝45°，∴∠NCM＝90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP＝90°，则点D与点C必为相似三角形对应点，
(Ⅰ)若有△PCM∽△BDC，则有＝，
∵BD＝1，CD＝3，∴CP＝＝＝，
∵CD＝DA＝3，∴∠DCA＝45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH＝45°，CP＝，∴PH＝÷＝，
把x＝代入y＝－x＋4，解得y＝，∴P1；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x＝－代入y＝－x＋4，解得y＝，
∴P2；
(Ⅱ)若有△PCM∽△CDB，则有＝，
∴CP＝＝3，∴PH＝3÷＝3，
若点P在y轴右侧，把x＝3代入y＝－x＋4，解得y＝1；
若点P在y轴左侧，把x＝－3代入y＝－x＋4，解得y＝7.
∴P3(3，1)，P4(－3，7)．
∴所有符合题意的点P坐标有4个，分别为P1，P2，P3(3，1)，P4(－3，7)．
9、如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点；
① 当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
② 若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

原图　　　　　 备用图
【解析】(1)由题意得 解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.
(2)方法1：如答图①，过P作PG∥CF交CB于G，
由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)，
∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形，
∴EF＝CF＝(3－m)，PE＝PG，
设xP＝t(1＜t＜3)，则PE＝PG＝(－t＋3－t－m)＝(－m－2t＋3)，
∵t2－4t＋3＝t＋m，
∴PE＋EF＝(－m－2t＋3)＋(3－m)
＝ (－2t－2m＋6)＝－(t＋m－3)
＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4，
∴当t＝2时，PE＋EF最大值4.

第5题答图① 　　第5题答图②
方法2：(几何法)由题意知直线BC的表达式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，
∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，
如答图②，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF＋EF＝PF′＝PH.
又∵PH＝yC－yP＝3－yP.
∴当yP最小时，PF＋EF取最大值，
∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当yP＝－1时，(PF＋EF)max＝×(3＋1)＝4.
(3)① 由(1)知对称轴为x＝2，设D(2，n)，如答图③.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，
即(2－0)2＋(n－3)2＋(3)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；
当 △BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时，由勾股定理，得BD2＋BC2＝CD2，
即(2－3)2＋(n－0)2＋(3)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1.
∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D点坐标为(2，5)或(2，－1)．

第5题答图③　　　 第5题答图④
②如答图④，以BC的中点T(3，3)，
为圆心BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD4B＝90°，
设D(2，m)，由DT＝BC＝，得＋＝，
解得m＝3 ±，
∴D3，D4，
又由①得D1(2，5)，D2(2，－1)，
∴若△BCD是锐角三角形，则点D在线段D1D3或D2D4上(不与端点重合)，故点D的纵坐标的取值范围是－1＜yD ＜3－或3＋ ＜yD ＜5.
10、如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．
（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；
（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（92，94）或（52，﹣154）．
【解析】（1）对于抛物线y=2x2﹣2，
当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=1或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），
∴d（A，B）=2，
dx=4ac-b24a=4×2×-2-024×2=-2=2.
∴d（x）=d（A，B），
∴抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”．
故答案为：是．
（2）当y=0时，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，
∵b＞0，
∴d（A，B）=b，
由题意dx=4ac-b24a=4×-1×0-b24×-1=b.
解得b=0（舍弃）或b=4，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x．
（3）当y=0时，x2+mx=0，解得x=0或﹣m，
∵m＜0，
∴d（A，B）=-m，
∵4ac-b24a=-m24,
∴d（x）=m24，
由题意-m=m24，
解得m=-4或0（舍弃），
∴y=x2-4x，
假设存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：
①如图1中，作AC⊥AP交抛物线于点C，厉害PC，作PE⊥x轴交AC于D．

-b2a=2,4ac-b24a=-4，
∴AE=2，PE=4，
由△ADE∽△PAE,可得DEAE=AEPE，
∴DE2=24，
∴DE=1，
∴D(2,1)，
∴直线AD的解析式为y=12x，
由y=12xy=x2-4x解得x=0y=0或x=92y=94，
∴C(92,94).
②如图2中，作PC⊥AP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PE⊥x轴于E.

由△ADP∽△PAE,可得ADPA=PAPE, 即PA2=AD⋅PE，
∴22+42=4AD，
∴AD=5，
∴D(0,−5)，
∴直线AD的解析式为y=12x-5，
由y=12x-5y=x2-4x,解得x=2y=-4或x=52y=-154，
综上所述,满足条件的点C坐标为(92,94)或(52,−154).
综上所述，满足条件的点C坐标为92,94或52,-154.
11、综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为　 　，点P的坐标为　 　；
（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3），；（4）存在，F1，F2．
【解析】
（1）∵在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=﹣4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴为x1，
又∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，
由对称性可知B(1，0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，
将C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，
得：﹣3a，
解得：a，
∴此抛物线的解析式为y(x+3)(x﹣1)x2x；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，
∴OA=3，OB=1，OC，
∴AB=OA+OB=4，AC2，BC2．
∵AC2+BC2=16，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，
∴BM=BN=t，
由翻折知，△BMN≌△PMN，
∴BM=PM=BN=PN=t，
∴四边形PMBN是菱形，
∴PN∥AB，
∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，
∴，
即，
解得：t，CH，
∴OH=OC﹣CH，
∴yP，
设直线AC的解析式为y=kx，
将点A(﹣3，0)代入y=kx，
得：k，
∴直线AC的解析式为yx，
将yP代入yx，
∴x=﹣1，
∴P(﹣1，)．
故答案为：，(﹣1，)；

（4）设直线BC的解析式为y=kx，
将点B(1，0)代入y=kx，
得：k，
∴直线BC的解析式为yx，
由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
①如图2，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，
在yx中，当x=﹣1时，y=2，
∴F1(﹣1，2)；
②当∠CAF=90°时，AF∥BC，
∴可设直线AF的解析式为yx+n，
将点A(﹣3，0)代入yx+n，
得：n=﹣3，
∴直线AF的解析式为yx﹣3，
在yx﹣3中，当x=﹣1时，y=﹣2，
∴F2(﹣1，﹣2)．
综上所述：点F的坐标为F1(﹣1，2)，F2(﹣1，﹣2)．

12、抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+，﹣2）.
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．
（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【解析】
【解析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得
解得
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

解得
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．
∴P（1+，﹣2）
【小结】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．