二次函数18精讲 专题04 二次函数中的平行模型解决面积问题

专题04 二次函数中的平行模型解决面积问题

【模型展示】

初中数学中考压轴题有一种常考的类型，二次函数最大面积问题。常用的方法有平行法、铅垂高法、矩形覆盖法等。本文主要说明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成与二次函数图像只有一个交点。然后利用一次函数与二次函数图像只有一个交点，联立出一元二次方程解根的判别式等于零，进而求出一次函数解析式，交点坐标可求。最大高一般都是空中有高平移至与坐标轴交点处，构成直角三角形，与已知一次函数与坐标轴所夹直角三角形相似。

1、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1                         图2                            图3

【解析】（1）由，

得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB面积时，点B、D到直线AC距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．

所以，点D的坐标为．

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．

联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．

所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．

根据对称性，直线l还可以是．

2、如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

【分析】

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．

2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．

3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．

【解析】

（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．

（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，

得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．

所以点D的坐标为(2m,－3)．

设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))．

如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．

由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．

所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．

当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．

所以点E的坐标为(4m, 5)．所以．

图2                                 图3

（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，

可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．

那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．

证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．

因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．

此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)．

3、如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

【分析】

（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )．

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．

如图3，联结OP．

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．

解得．所以点P的坐标为()．

图2                                         图3

（3）由，得A(1, 0)，OA＝1．

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当，即时，△BQA∽△QOA．

所以．解得．所以符合题意的点Q为()．

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA．

当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．

图4                               图5

4、如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

【分析】1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

【解析】

（1）将M(2, 2)代入，得．解得m＝4．

（2）当m＝4时，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

所以S△BCE＝．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么．因此．解得．所以点H的坐标为．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．

设点F坐标为，由，得．得x＝m＋2．F′(m＋2, 0)

由，得．所以．

由，得．整理，得0＝16．此方程无解．

图2                       图3                         图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．

解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．

由，得．解得．

综合①、②，符合题意的m为．

5、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1                          图2                             图3

【分析】

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

【解析】

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B，．解得．

所以抛物线的解析式为．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．

综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．

6、如图，矩形O1A1BC1，由矩形OABC旋转得到，点A在y轴上，点C，O1在x轴上，O1A1与BC交于点D，B的坐标为（﹣1，3）．

（1）求线段O1A1所在直线的函数表达式；

（2）如果函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过O1，O，D三点．问该抛物线上是否有一点P使△PO1D的面积为2？如存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）如图，连接OB，O1B，则OB＝O1B，

∵四边形OABC是矩形，

∴BC⊥OC，

∴CO＝CO1，

∵B点的坐标为（﹣1，3），∴OC＝1，∴CO1＝1，

∴点O1的坐标是（﹣2，0），

在△BA1D与△O1CD中，，∴△BA1D≌△O1CD（AAS），∴BD＝O1D，

设点D的坐标为（﹣1，a），则CD＝a，

∵点B的坐标是（﹣1，3），

∴O1D＝BD＝3﹣a，

在Rt△CDO′中，CD2+CO12＝O1D2，∴a2+12＝（3﹣a）2，解得a＝，

∴点D的坐标为（﹣1，），

设直线O1A1的解析式为y＝kx+b，∴，解得

∴线段O1A1所在直线的函数表达式为y＝x+；

（2）∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过O1，O，D三点，

设函数为y＝a（x+1）2+，

代入（﹣2，0）得0＝a+，

∴a＝﹣，

∴函数y＝﹣（x+1）2+＝﹣x2﹣x，

∵O1D＝BD＝3﹣＝，

∵△PO1D的面积为2，

∴P到直线O1A1的距离为，

设x轴上有一定M，过M作MN⊥直线O1A1，且MN＝，

∵∠MNO1＝∠O1CD＝90°，∠MO1N＝∠DO1C，

∴△MNO1∽△O1DC，∴，即＝，∴O1M＝3，∴M（1，0），

过M点作直线O1A1的平行线，与抛物线的交点即为P点，

设过M点作直线O1A1的平行线为y＝x+n，

把M（1，0）代入得0＝+n，解得n＝﹣，∴y＝x﹣，

解得或

∴P（，）或（，）．