2020年中考数学10道压轴题（附答案）

2020年中考数学10道压轴题（附答案）

1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；
（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）

2. 如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于
，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

A
B
C
D
E
R
P
H
Q



3在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
A
B
C
M
N
P
图 3
O
A
B
C
M
N
D
图 2
O
A
B
C
M
N
P
图 1
O


4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.




6如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，
求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
C
D
A
B
E
F
N
M


8.如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上．
x
O
y
A
B
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，
以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．　
试求直线MN的函数表达式．








x
O
y
1
2
3
1
Q
P
2
P1
Q1
（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标
为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平
移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，
则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为 ．


9.如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
A
O
x
y
B
F
C
图16


10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
O

D
E
C
F
A
B

11.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？


12.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:
(1) 求m，n的值
(2) 若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式
(3) 过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由




A
C
O
B
N
D
M
L`

13.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；
(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）


14.已知抛物线，
（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；




（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；




（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．











15.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

图②
A
Q
C
P
B
图①
A
Q
C
P
B


16.已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C.
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.

压轴题答案

1. 解：（ 1）由已知得：解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似
如图，BD=
BE=
DE=
所以, 即： ,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
2 解：（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
，．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
A
B
C
M
N
P
图 1
O
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
3解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x． ……………2分
∴ =．（0＜＜4） ……………3分
A
B
C
M
N
D
图 2
O
Q
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ ，
∴ ． …………………5分
过M点作MQ⊥BC 于Q，则．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ，．
∴ x＝．
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分
A
B
C
M
N
P
图 3
O
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
A
B
C
M
N
P
图 4
O
E
F
∴ 当＝2时， ……………………………………8分
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．
∴ ． ……………………………………………… 9分
＝．……………………10分
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，． ……………………11分
综上所述，当时，值最大，最大值是2． …………………………12分

4 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=，∴B(,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,
以直线AB的解析式为
（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°
∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,
∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=
∴D(,)
(3)设OP=x,则由（2）可得D()若ΔOPD的面积为：
解得：所以P(,0)

5





6






7解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分
∵ AB∥CD，
∴ DG＝CH，DG∥CH．
∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．
C
D
A
B
E
F
N
M
G
H
∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，
∴ △AGD≌△BHC（HL）．
∴ AG＝BH＝＝3． ………2分
∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，
∴ DG＝4．
∴ ． ………………………………………………3分
C
D
A
B
E
F
N
M
G
H
（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ ME＝NF，ME∥NF．
∴ 四边形MEFN为矩形．
∵ AB∥CD，AD＝BC，
∴ ∠A＝∠B．
∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，
∴ △MEA≌△NFB（AAS）．
∴ AE＝BF． ……………………4分
设AE＝x，则EF＝7－2x． ……………5分
∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，
∴ △MEA∽△DGA．
∴ ．
∴ ME＝． …………………………………………………………6分
∴ ． ……………………8分
当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．……………9分
（3）能． ……………………………………………………………………10分
由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．
若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．
即 7－2x．解，得 ． ……………………………………………11分
∴ EF＝＜4．
∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为．
8解：（1）由题意可知，．
解，得 m＝3． ………………………………3分
x
O
y
A
B
M1
N1
M2
N2
∴ A（3，4），B（6，2）；
∴ k＝4×3=12． ……………………………4分
（2）存在两种情况，如图：
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴
上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）．
∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，
∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．
由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）； ………………………………5分
M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）． ………………………………6分
设直线M1N1的函数表达式为，把x＝3，y＝0代入，解得．
∴ 直线M1N1的函数表达式为． ……………………………………8分
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）．
∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，
∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．
∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．
∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）． ………………………9分
设直线M2N2的函数表达式为，把x＝-3，y＝0代入，解得，
∴ 直线M2N2的函数表达式为． 　　
所以，直线MN的函数表达式为或． ………………11分
（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分
9解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．
， 1分
点都在抛物线上，

抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
（2）存在 5分
7分
9分
（3）存在 10分
理由：
解法一：
延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．
11分
A
O
x
y
B
F
C
图9
H
B
M
过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，，
在中，，
，， 12分
设直线的解析式为
解得
13分
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 14分
解法二：
A
O
x
y
B
F
C
图10
H
M
G
过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点．连接交于点，则点即为所求． 11分
过点作轴于点，则，．
，

同方法一可求得．
在中，，，可求得，
为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，
垂直平分．
即点为点关于的对称点． 12分
设直线的解析式为，由题意得
解得
13分
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 1
10解：（1）点在轴上 1分
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：

点在轴上，点在轴上． 3分
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为 5分
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为 6分
抛物线经过点，

由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为： 9分
（3）存在符合条件的点，点． 10分
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2 11分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上

解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，． 14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
11解：（1）在中，令

x
y
A
B
C
E
M
D
P
N
O
，
， 1分
又点在上


的解析式为 2分
（2）由，得 4分
，
， 5分
6分
（3）过点作于点


7分
8分
由直线可得：
在中，，，则
， 9分

10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．

12解：
(1)m=-5,n=-3
(2)y=x+2
(3)是定值.
因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h，
设△ABC AB边上的高为H,
则利用面积法可得：

（CM+CN）h=MN﹒H

又 H=
化简可得 (CM+CN)﹒
故

13解：（ 1）由已知得：解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似
如图，BD=
BE=
DE=
所以, 即： ,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
14解（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤． 3分
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分
②当时，
时，，
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有 即
解得．
综上，或． 6分
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴．
于是．而，∴，即．
∴． 7分
∵关于的一元二次方程的判别式
，


x

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分




15 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm，
∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm
∴AP＝（5－t）cm，
∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝
∴当t为秒时，PQ∥BC
………………2分
（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC
∴AQ∶QD＝AB∶BC
∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝
∴△APQ的面积：×AP×QD＝（5－t）×
∴y与t之间的函数关系式为：y＝
………………5分
（3）由题意：
当面积被平分时有：＝××3×4，解得：t＝
当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1
∴不存在这样t的值
………………8分
（4）过点P作PE⊥BC于E
易证：△PAE∽△ABC，当PE＝QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形
∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝
∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝
∴当t＝时，四边形PQP′C为菱形
此时，PE＝，BE＝，∴CE＝
………………10分
在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝＝＝
∴此菱形的边长为cm ………………12分
16 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y＝－2.
∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）
从而k＝8×2＝16
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上,
∴mn＝k，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）
＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.
∴＝――＝k.∴k＝4.
由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1）
∴C（－4，－2），M（2，2）
设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得
，解得a＝b＝
∴直线CM的解析式是y＝x＋.
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1


设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是，
同理
∴p－q＝－＝－2