第二章一元二次方程-达标检测卷

第二章 一元二次方程达标检测卷(120分，90分钟)
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列方程一定是一元二次方程的是(　　)
A．3x2＋－1＝0 B．5x2－6y－3＝0 C．ax2－x＋2＝0 D．3x2－2x－1＝0
2．一元二次方程5x2－x＝－3，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)
A．5，－x，3 B．5，－1，－3 C．5，－1，3 D．5x2，－1，3
3．由下表估算一元二次方程x2＋12x＝15的一个根的范围，正确的是(　　)
x
1.0
1.1
1.2
1.3
x2＋12x
13
14.41
15.84
17.29
A.1.0 4．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是(　　)
A．2 B．1 C．－2 D．－1
5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是(　　)
A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．下列方程，适合用因式分解法解的是(　　)
A．x2－4x＋1＝0 B．2x2＝x－3 C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0
7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
8．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(　　) A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A．四 B．三 C．二 D．一
10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于(　　)
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.
12．如果关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实
数根，那么实数a的取值范围是______________．
13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k＝________.
14．某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．
15．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与＝有一个解相同，则a＝________.
16．小明的妈妈周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了________瓶酸奶．
17．对于实数a，b，定义运算“*”a* b＝
例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边
上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动．
设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0 三、解答题(19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分)
19．用适当的方法解下列方程．
(1)x2－x－1＝0; (2)x2－2x＝2x＋1；


(3)x(x－2)－3x2＝－1; (4)(x＋3)2＝(1－2x)2.



20．已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，求m的值及另一个根．



21．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x(x＋4)＝6.
解：原方程可变形，得
[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.
(x＋2)2－22＝6，
(x＋2)2＝6＋22，
(x＋2)2＝10.
直接开平方并整理，得x1＝－2＋，x2＝－2－.
我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得
[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.
(x＋□)2－○2＝5，
(x＋□)2＝5＋○2.
直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.
上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“¤”表示的数分别为________，________，________，________.
(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.



22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．




23．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)








24．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离是10 cm?


　(第24题)




25．杭州湾跨海大桥通车后，A地到宁波港的路程比原来缩短了120 km.已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的 h缩短到2 h.
(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8 320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？













答案
一、1.D　2.C　3.B　4.D
5．A　点拨：第一次降价后的价格为289×(1－x)元，第二次降价后的价格为289×(1－x)×(1－x)元，则列出的方程是289(1－x)2＝256.
6．C　7.D　8.C　9.D
10．B　点拨：设AC交A′B′于H.
∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△AA′H是等腰直角三角形．
设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，A′D＝(2－x)cm.
∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1.
即AA′＝1 cm.故选B.
二、11.4
12．a<1且a≠0
13．2　点拨：∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.
∴＋＝＝＝3.
解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．
14．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260
点拨：根据题意知：第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元，
∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.
15．1　点拨：由方程x2－4x＋3＝0，得
(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0.
解得x1＝1，x2＝3；
当x＝1时，分式方程＝无意义；当x＝3时，＝，
解得a＝1，
经检验，a＝1是方程＝的解．
16．4　点拨：设她周三买了x瓶酸奶，根据题意得(x＋2)·＝10＋2，化简得x2＋6x－40＝0，解得x1＝4，x2＝－10.经检验．x1＝4，x2＝－10都是分式方程的根，但x＝－10不符合题意，故x＝4.
17．3或－3　点拨：x2－5x＋6＝0的两个根为x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2.
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝2×3－32＝－3；
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32－2×3＝3.
18．6　点拨：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8 cm.
又∵AP＝t cm，
∴S1＝AP·BD＝×t×8＝8t(cm2)，PD＝(8－t)cm.易知PE＝AP＝t cm，∴S2＝PD·PE＝(8－t)·t cm2.∵S1＝2S2，
∴8t＝2(8－t)·t.解得t1＝0(舍去)，t2＝6.
三、19.解：(1)(公式法)a＝1，b＝－1，c＝－1，　
所以b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5.
所以x＝＝，
即原方程的根为x1＝，
x2＝.
(2)(配方法)原方程可化为x2－4x＝1，　
配方，得x2－4x＋4＝1＋4，(x－2)2＝5.
两边开平方，得x－2＝±，
所以x1＝2＋，x2＝2－.
(3)(公式法 )原方程可化为2x2＋2x－1＝0，
a＝2，b＝2，c＝－1，b2－4ac＝22－4×2×(－1)＝12.
所以x＝＝，
即原方程的根为x1＝，x2＝.
(4)(因式分解法)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0，
因式分解，得(3x＋2)(－x＋4)＝0，
解得x1＝－，x2＝4.
20．解：∵(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，
∴(m＋1)·12－1＋m2－3m－3＝0.整理，得m2－2m－3＝0，
∴(m－3)(m＋1)＝0.
又∵方程(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0为一元二次方程，
∴m＋1≠0，∴m－3＝0.∴m＝3.
∴原方程为4x2－x－3＝0，
解得x1＝1，x2＝－.
∴原方程的另一个根为－.
21．解：(1)4；2；－1；－7(最后两空可交换顺序)；
(2)(x－3)(x＋1)＝5，
原方程可变形，
得[(x－1)－2][(x－1)＋2]＝5，
整理，得(x－1)2－22＝5，
(x－1)2＝5＋22，即(x－1)2＝9，
直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝－2.
22．解：(1)存在．Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，
∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即a≥0.又∵a－6≠0，
∴a≠6.∴a≥0且a≠6.由题可知x1＋x2＝，x1x2＝.
∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，
∴＝4＋.解得a＝24，经检验，符合题意．∴存在实数a，a的值为24.
(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝＋＋1＝.
∵为负整数，
∴实数a的整数值应取7，8，9，12.
23．解：(1)当x≤5时，y＝30.
当5 ∴y＝
(2)当x≤5时，(32－30)×5＝10<25，不合题意．
当5 (32＋0.1x－30.5)x＝25，
∴x2＋15x－250＝0.
解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
∴该月需售出10辆汽车．

(第24题)
24．解：(1)设P，Q两点从出发开始到x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2，则AP＝3x cm，CQ＝2x cm，所以PB＝(16－3x)cm.因为(PB＋CQ)×BC×＝33，所以(16－3x＋2x)×6×＝33.解得x＝5，所以P，Q两点从出发开始到5 s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2.
(2)设P，Q两点从出发开始到a s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.
如图，过点Q作QE⊥AB于E，易得EB＝QC，EQ＝BC＝6 cm，　
所以PE＝|PB－BE|＝|PB－QC|＝|16－3a－2a|＝|16－5a|(cm)．　
在Rt△PEQ中，PE2＋EQ2＝PQ2，所以(16－5a)2＋62＝102，即25a2－160a＋192＝0，解得a1＝，a2＝，所以P，Q两点从出发开始到 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.　
25．解：(1)设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x km，
由题意得＝，解得x＝180.
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180 km.
(2)1.8×180＋28×2＝380(元)，
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元．
(3)设这批货物有y车，由题意得y[800－20×(y－1)]＋380y＝8 320，整理得y2－60y＋416＝0，解得y1＝8，y2＝52(不合题意，舍去)，
∴这批货物有8车．