2020-2021学年 北师大版八年级数学上册期末冲刺 专题07《平行线的证明》（北师大版）（教师版）

专题07《平行线的证明》

1．定义与命题
（1）对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
（2）判断一件事情的句子，叫做命题．命题必须是一个完整的句子，这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断．
2. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
3.要证明一个命题是一个假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例.
4.公认的真命题称为公理；经过证明了的真命题称为定理．
5.平行线
（1）公理：同位角相等，两直线平行．
（2）判定定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
（3）平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等．
（4）性质定理：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
7．三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

考点一、真、假命
例1（2020雅安）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a=b，a=c，那么b=c
【答案】B.
【解析】由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题，
故选：B.
【名师点睛】本题考查了命题与定理，理解命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．
考点二、平行线的性质
例2（2020日照）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2=65°，则∠1的度数是_______．

【答案】25°.
【解析】延长EF交BC于点G，根据平行线的性质可得∠2=∠3=65°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解.
如图，延长EF交BC于点G，

∵直尺，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3=65°，
又∵30°角的直角三角板，
∴∠1=90°-65°-25°.
故答案为：25°.
【名师点睛】此题考查了平行线的性质，此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等性质的应用．
考点三、平行线的判定
例3（2020郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截，下列条件能判定a∥b的是（ ）

A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠4=∠5 D.∠1=∠2
【答案】D.
【解析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案.
A、当∠1=∠3时，c//d，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c//d，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c//d，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a//b，故此选项符合题意；
故选：D.
【名师点睛】此题考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
考点四、平行线的判定与性质
例4（2020武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F. EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN. 求证：AB∥CD.

【答案】见解析.
【解析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB=∠EFC，进而得出AB∥CD.
证明∵EM∥FN，
∴∠FEM=∠EFN，
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠BEF=2∠FEM，∠EFC=2∠EFN，
∴∠BEF=∠EFC，
∴AB//CD.
【名师点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质．
考点五、三角形内角和
例5 (2020大连) 如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D.
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质求出∠AED即可.
∵∠C=180°-∠A-∠B，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠C=80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C=80°，
故选：D.
【名师点睛】此题主要考查三角形的内角和定理以及平行线的性质，熟练应用三角形的内角和定理是解题关键．
考点六、三角形外角
例6 (2020南充模拟)如图9，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是_______度．
图9

【答案】D.
【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
解：由三角形外角的性质可得：∠ACD=∠A+∠B=80°+40°=120°，
根据角平分线的性质可得：∠ACE=∠ACD=120°=60°．
【名师点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020绍兴一模）下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①是正确的，对顶角相等；②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角；④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等．故①②正确，③④错误，所以错误的有两个，故选B．
2．（2020武汉一中模拟）点P是直线l外一点， ,A为垂足，且PA=4 cm，则点P到直线l的距离（　　）
A．小于4 cm B．等于4 cm C．大于4 cm D．不确定
【答案】B
【解析】因为点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度（垂线段最短），所以 点P到直线l的距离等于4 cm，故选B．
3．如图1，点在的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
图1

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠5=∠B D．∠+∠BDC=180°
【答案】A
【解析】选项B中，∵ ∠3=∠4，∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故正确；
选项C中，∵ ∠5=∠B，∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故正确；
选项D中，∵ ∠B+∠BDC=180°，∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故正确；
而选项A中，∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，∵ ∠1=∠2，∴ AC∥BD，故选A错误．选A．
4．（2020黄陂一中模拟）如图2， a∥b,∠3=108°，则∠1的度数是（　　）
图2

A．72° B．80° C．82° D．108°
【答案】A
【解析】∵ a∥b，∠3=108°，∴ ∠1=∠2=180°∠3=72°．故选A．
5．如图3，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（　　）
图3

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【解析】∵ DE∥BC，∴ ∠DEB=∠EBC，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
又∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE=∠EBC，∴ ∠ABE=∠DEB（等量代换）．
∴ 图中相等的角共有5对．故选C．
6．（2020浙江模拟）如图4，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（　　）
图4

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵ AB∥CD，∴ ∠ABC=∠BCD.
设∠ABC的对顶角为∠1，则∠ABC=∠1.
又∵ AC⊥BC，∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°，
因此与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1．故选C．

7．（2020荆州模拟）如图5，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（　　）
图5

A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【解析】∵∠A+∠E=75°，∴∠EOB=∠A+∠E=75°.∵AB∥CD，∴∠C=∠EOB=75°，故选C．
8．如图6，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠DCB相等的角的个数为（　　）
图6

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】如题图，∵ DC∥EF，∴ ∠DCB=∠EFB.∵ DH∥EG∥BC，∴ ∠GEF=∠EFB，∴ ∠DCB =∠GEF. ∠DCB=∠HDC，∠DCB=∠CMG=∠DME，故与∠DCB相等的角共有5个．故选D．
9. 下列条件中能得到平行线的是（　　）
①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同旁内角的角平分线．
A．①② B．②③ C．② D．③
【答案】C
【解析】结合已知条件，利用平行线的判定定理依次推理判断．
10. （2020宜昌一模）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（　　）
A．互相重合 B．互相平行 C．互相垂直 D．相交
【答案】B
【解析】∵ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，∴ 它们角的平分线形成的同位角相等，∴ 同位角相等的平分线平行．故选B．
二、填空题（每小题3分，满分24分）
11．（2020长沙模拟）命题“对顶角相等”的题设是 两个角是对顶角，结论是 ．
【答案】两个角是对顶角 这两个角相等
【解析】命题“对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．
12．一个三角形的两个内角是35°和110°，则另一个内角是 ．
【答案】35°
【解析】因为三角形的内角度数和是180°，所以另一个内角的度数为180°-110°-35°=35°.
13．（2020黄冈模拟）如图7，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1与∠2的关系是 ．
图7

【答案】∠1+∠2=90°（互为余角）
【解析】∵ 直线AB、EF相交于O点，∴ ∠1=∠DOF.又∵ AB⊥CD，∴ ∠2+∠DOF=90°，∴ ∠1+∠2=90°．
14．（2020九江模拟）如图8，D是AB上一点，CE∥BD，CB∥ED，EA⊥BA于点A，若∠ABC=38°，则∠AED= ．
图8

【答案】52°
【解析】∵ EA⊥BA，∴ ∠EAD=90°.∵ CB∥ED，∠ABC=38°，∴ ∠EDA=∠ABC=38°，∴ ∠AED=180°∠EAD∠EDA=52°．
15．如图9，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2= ．
图9

【答案】54°
【解析】∵ AB∥CD，
∴ ∠BEF=180°∠1=180°72°=108°，∠2=∠BEG.
又∵ EG平分∠BEF，
∴ ∠BEG=∠BEF=×108°=54°，故∠2=∠BEG=54°．
16．（2020安徽模拟）如图10，直线a∥b，则∠ACB= ．
图10

【答案】78°
【解析】延长BC与直线a相交于点D，
∵ a∥b，∴ ∠ADC=∠CBE=50°.
∴ ∠ACB=∠ADC +28°=50°+28°=78°.故应填78°.

17．（2020河北一模）如图11，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1= ．
图11

【答案】65°
【解析】根据题意，得2∠1与130°角相等，即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65°．
18. （2020潜江一模）如图12，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2019BC和∠A2019D的平分线交于点A2020∠A2020=　　　度．
图12

【答案】
【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2020=∠A=．
三、解答题（满分66分）
19．（6分）（2020广州一模）读句画图：如图13，直线CD与直线AB相交于点C
图13

根据下列语句画图：
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
【答案】（1）（2）如图所示.见解析；（3）∠PQC=60°．理由见解析．
【解析】（1）（2）如图所示.

（3）∠PQC=60°.
理由：∵ PQ∥CD,∴ ∠DCB+∠PQC=180°.
∵ ∠DCB=120°,∴ ∠PQC=180°120°=60°．
20．（6分）（2020浙江一模）已知：如图14，∠BAP +∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：∠E =∠F．
图14

【答案】见解析．
【解析】证明：∵ ∠BAP+∠APD = 180°，∴ AB∥CD.∴ ∠BAP =∠APC.
又∵ ∠1 =∠2,∴ ∠BAP−∠1 =∠APC−∠2.即∠EAP =∠APF.
∴ AE∥FP.∴ ∠E =∠F.
21．（6分）（2020珠海一中一模）已知：如图15，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证：ED∥FB．
图15

【答案】见解析．
【解析】证明：∵ ∠3 =∠4,∴ AC∥BD.∴ ∠6+∠2+∠3 = 180°.
∵ ∠6 =∠5，∠2 =∠1,∴ ∠5+∠1+∠3 = 180°.∴ ED∥FB.
22．（6分）（2020东莞一模）如图16，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数．
图16

【答案】∠EDC=40°．
【解析】∵ DE∥BC，∠AED=80°，
∴ ∠EDC=∠BCD ，∠ACB=∠AED=80°.
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠BCD=∠ACB=40°，
∴ ∠EDC=∠BCD=40°．
23．（8分）如图17，已知AB∥ED，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数．
图17

【答案】∠NCD=32.5°．
【解析】∵ AB∥ED，∴ ∠B+∠BCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵ ∠B=65°，∴ ∠BCE=115°.
∵ CM平分∠BCE，∴ ∠ECM=∠BCE =57.5°.
∵ ∠ECM +∠MCN +∠NCD =180°，∠MCN=90°，
∴ ∠NCD=180°-∠ECM-∠MCN=180°-57.5°-90°=32.5°．
24．(8分) （2020桂林一模）在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．
【答案】∠DAC＝15°.
【解析】∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠EBC＝30°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－30°－75°＝75°.
又∵∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－75°＝15°.
25．（8分）我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．请利用这条定理解决下列问题：如图18，∠1=∠2=∠3．
（1）试说明∠BAC=∠DEF．
（2）∠BAC=70°，∠DFE =50°，求∠ABC的度数．
图18

【答案】（1）见解析；（2）∠ABC=60°．
【解析】（1）证明：∠DEF=∠3+∠CAE，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC，
即∠BAC=∠DEF.
（2）解：∠DFE=∠2+∠BCF，
∵ ∠2=∠3，∴ ∠DFE=∠3+∠BCF， 即∠DFE=∠ACB.
∵ ∠BAC=70°，∠DFE=50°.
∴ 在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-50°=60°．
26.(8分) （2020武汉一模）在“三角形内角和”的探究中课本中给了我们这样一种折叠方法，把三角形按如图19的虚线折叠，可以得到三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论．
图19

【答案】见解析．
【解析】证明：∵△DEF由△AEF折叠而得，∴ ∠EDF=∠EAF，
同理∠EDB=∠B，∠FDC=∠C.
∵ ∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴ 三角形内角和等于180°.

27. (10分) （2020孝感一中一模）已知：如图20，是△ABC，如图21是“8字形”（将线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB形成的图形），如图22是一个五角星形状，试解答下列问题：
图20
图21
图22
图23

（1）如图20的△ABC中，∠A+∠B+∠C=_______，并证明你写出的结论；（要有推理证明过程）
（2）如图21的“8字形”中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：_______；
（3）若在如图22的条件下，作∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N（如图23）．请写出∠P与∠D、∠B之间数量关系；并证明.
（4）如图22中的点A向下移到线段BE上时，请证明∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°．
【答案】（1）180°；（2）∠A+∠D=∠C+∠B；（3）∠P=（∠D+∠B）；见解析；（4）见解析．
【解析】（1）过A点作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，
∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°；
（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
又∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
∴∠P=（∠D+∠B）；

（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，
又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．