2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题06 勾股定理中的面积、折叠、最短距离问题（教师版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题06 勾股定理中的面积、折叠、最短距离问题
【典型例题】
1．（2020·宁夏固原市原州区三营中学初二月考）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

【答案】
解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+•DB•BC，
=×4×3+×12×5=36．
所以需费用36×200=7200（元）．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理及逆定理求得边并由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键．

2.（2020·广西防城港初二期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　)

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】
解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：，
设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6，
可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x，
在Rt△CDB'中，
根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2，
解得：x=3，
则BD=3．
故答案为：3．

3.（2020·山东环翠初二期中）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )

A．9 B．10 C． D．
【答案】B
【解析】
如图(1),AB=；
如图(2),AB=.
故选B.


勾股定理中的面积问题
【专题训练】
一、 选择题
1．（2020·宁夏平罗初二期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ）

A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
【答案】C
2．（2019·四川阿坝初二期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）

A．12 B．13 C．144 D．194
【答案】C
3．（2020·北京海淀北理工附中初三其他）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）

A．3:4 B．5:8 C．9: 16 D．1:2
【答案】B
4．（2020·宁夏盐池）如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　　)

A．48 B．60
C．76 D．80
【答案】C
5．（2020·山东肥城初二期中）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
6．（2019·江西育华学校初二月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（ ）cm2.

A．8 B．10 C．15 D．20
【答案】B
7．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期末）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　 　）

A． B． C． D．
【答案】A
8．（2019·广东潮阳初三零模）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
9．（2020·河北沙河初二期末）历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的直角边AE,EB在同一条直线上.证明中用到的面积相等关系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
10．（2019·广东恩平初二期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　 　）

A．8 B．9 C． D．10
【答案】C

二、 填空题
11．（2019·河北保定十三中初二期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．

【答案】2
12．（2020·金昌市金川总校第五中学初二期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．

【答案】17
13．（2019·河南伊川初二期末）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ．

【答案】76
14．（2019·北京市第四十三中学初二期中）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________ .

【答案】13
15．（2020·盐池县第五中学初二期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___．

【答案】10
16．（2020·河北侯口中学初二月考）已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____。
【答案】4.8cm.
17．（2020·南昌民德学校初二期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．

【答案】
18．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期末）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是___________．

【答案】（）2018
19．（2019·上海师大附中附属龙华中学初二月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB边上的高.则CD的长为________

【答案】
20．（2019·全国初二单元测试）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 __________.

【答案】4.5

三、 解答题
21．（2020·江西大余初二期末）如图：四边形ABCD中, AB=BC=,CD=, DA=1, 且AB⊥CB于B．
试求:（1）∠BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积.

【答案】
（1）连接AC，∵AB=BC=,
∴AC=
∴∠BAC=45°，
∵AD2+AC2=1+4=5=CD2，
∴△ACD为直角三角形.
∴∠BAD=90°+45°=135°，
（2）S四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC==1+1=2

【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理.

22．（2018·内蒙古杭锦后旗初二期中）某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC，AB=13m,BC=12m，求这块地的面积.

【答案】24m2.
【解析】
解：连接AC
∵AD⊥DC∴∠ADC=90°
在Rt△ADC中，根据勾股定理

在△ABC中，
∵
△ABC是直角三角形
∴.

【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
23．（2020·福建漳平初二期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积．

【答案】
解：∵A（0，2），B（4，0），C（6，4），
∴AB＝，BC＝，AC＝，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++2＝4+；
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
∴△ABC的面积＝．
【点睛】
此题主要考查直角坐标系的应用，解题的关键是熟知勾股定理进行求解.
24．（2020·天津市宁河区潘庄镇中学初二期中）如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．

【答案】
连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°．
在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，
AC=．
∵BC=13，
∴AC=BC．
∵CE⊥AB，AB=10，
∴AE=BE=AB=．
在Rt△CAE中，
CE=．
∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=

25．（2020·新疆生产建设兵团第三中学初二月考）如图∠B=90º，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm,求四边形ABCD的面积．

【答案】
∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
∴AC＝AB2＋BC2＝162＋122＝20cm，
∵△ACD中，AD＝21cm，CD＝29cm，AC＝20cm，212＋202＝841＝292，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×AB×BC＋12×AD×AC＝12×16×12＋12×21×20＝306cm2.
故答案是306.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键.

勾股定理中的折叠问题
【专题训练】
一、选择题
1．（2020·甘南县八一学校初二期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）

A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
【答案】B
2．（2020·黑龙江肇源期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为( )

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
3．（2020·河北省临西县第一中学初二期末）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．3
【答案】B
4．（2020·中山大学附属中学初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（　　）

A． B． C．4 D．5
【答案】C
5．（2020·全国初一单元测试）如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A与B重合,折痕为DE,则S△BCE：S△BDE等于（ ）

A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21
【答案】B
6．（2020·临朐县东城街道七贤初级中学初一月考）如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5,BC=10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）

A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75
【答案】D
7．（2020·明水县滨泉初级中学初二期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为

A． B．3 C．1 D．
【答案】A

二、填空题
8．（2020·新疆乌鲁木齐?八十七中初二期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．

【答案】1.5
9．（2020·安徽省庐江第三中学初二期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12,BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为_______.

【答案】
10．（2020·湖南汉寿初二月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为_____．

【答案】
11．（2019·河南伊川初二期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为 .

【答案】4

三、解答题
12．（2020·景泰县第四中学初二期中）如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
​
【答案】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．

13．（2019·湖北下陆?初二期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

【答案】
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【点睛】
本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．

14．（2019·余干县第二中学初二期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处.

（1）试说明；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a,b,c，之间的关系，并说明理由.
【答案】
（1）由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，所以，
所以，所以，
所以.
（2）a，b，c之间的关系是.理由如下：
由（1）知，由折叠的性质，得，，.
在中，，
所以，所以.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键.



勾股定理中的最短距离问题
【专题训练】
一、选择题
1．（2019·河北保定十三中初二期中）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   )

A．(3+8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
【答案】B
2．（2020·北京市文汇中学初二期中）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱的高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
3．（2019·陕西西安交大附中分校期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　)

A．13 cm B．461cm C．434cm D．52 cm
【答案】D
4．（2020·五华县华西中学初二月考）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．㎝ B．5cm C．㎝ D．7cm
【答案】B
5．（2019·广东海珠?广州六中初二期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)(　　)

A．5≤a≤12 B．12≤a≤3
C．12≤a≤4 D．12≤a≤13
【答案】D
6．（2020·福建洛江初二期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　）

A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm
【答案】D
7．（2019·辽宁建平初二期末）如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）

A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
【答案】B
8．（2020·辽宁营口初二期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【答案】D
9．（2019·沙坪坝重庆八中初二月考）如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　)

A．12 cm B．11 cm C．10 cm D．9 cm
【答案】C

二、填空题
10．（2019·河南三门峡初二期末）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_______cm .

【答案】
11．（2018·平塘县第三中学初二期中）如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是_______________cm.

【答案】5cm
12．（2020·广东惠阳初三一模）如下图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB,CD分别是两底面的直径，且AB∥CD，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______(结果保留根号)

【答案】
13．（2020·四川大邑初二期中）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 ．

【答案】
14．（2020·山东平原初三一模）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要__cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要____cm．

【答案】10
15．（2019·全国初二课时练习）如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到达占B处，则所走的最短路路径长是________cm.

【答案】6
16．（2019·全国初二课时练习）如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，要从点A到点B经棱CE拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.

【答案】25
17．（2020·江苏灌南初三一模）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

【答案】15.

三、解答题
18．（2019·郑州市第三中学初二月考）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？

【答案】25
【解析】
试题分析：先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理计算即可.
将长方体的表面展开，连接PC

则
考点：勾股定理的应用
点评：解答本题的关键是读懂题意，根据两点之间线段最短的性质得到小虫所走的最短路线是一条线段.
19．（2019·兴宁市胜青中学初二月考）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？

【答案】1cm．
【解析】
解：∵CD=5cm，AD=12cm，
∴AC==13cm，
露出杯口外的长度为=14cm﹣13cm=1cm．
【点睛】
本题所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．
20．（2019·全国初二课时练习）一个长方体盒子的长、宽、高分别为7cm、5cm，9cm.一只虫子想在盒子表面上顶点A处爬到顶点F处，请你设计一条最短的爬行路线，求出最短路线的长，并说明理由.

【答案】15cm
【解析】
把长方体的表面沿不同的棱展开，有三种不同的图形，如图1，图2，图3.

图1 图2 图3
如图1，在中，，，，
所以；
如图2，在中，，，；
如图3，在中，，，.
图3中的AF最长，图1中的AF最短.
所以蚂蚁应沿图1路线爬行到顶点F处，
所以最短路线长15cm.
【点睛】
此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出图形然后分情况讨论.