江苏2020中考一轮复习培优 第23课时　锐角三角函数 练习课件

课时训练(二十三)　锐角三角函数

(限时:45分钟)

|夯实基础|

1.下列式子错误的是 (　　)

A.cos40°=sin50°

B.tan15°·tan75°=1

C.sin225°+cos225°=1

D.sin60°=2sin30°

2.[2017·湖州]如图K23-1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是 (　　)

图K23-1

A.    B.    C.    D.

3.[2017·宜昌]△ABC在网格中的位置如图K23-2所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列选项中,错误的是 (　　)

图K23-2

A.sinα=cosα      B.tanC=2

C.sinβ=cosβ      D.tanα=1

4.[2018·金华、丽水]如图K23-3,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为              (　　)

图K23-3

A.   B.   C.   D.

5.在△ABC中,若+cosB-2=0,则∠C的度数是 (　　)

A.30°      B.45° 

C.60°      D.90°

6.如图K23-4所示,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为 (　　)

图K23-4

A.2    B.2   C.+1   D.+1

7.如图K23-5,直径为10的☉A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧☉A优弧上一点,则cos∠OBC的值为 (　　)

图K23-5

A.    B.    C.    D.

8.如图K23-6,在直角三角形BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值为 (　　)

图K23-6

A.    B.    C.    D.

9.[2017·广州]如图K23-7,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=,则AB=　　　　. 

图K23-7

10.[2019·毕节] 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图K23-8放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度是　　　　. 

图K23-8

11.[2018·湖州]如图K23-9,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是　　　　. 

图K23-9

12.如图K23-10所示,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D,若AC=7,AB=4,则sinC的值为　　　　. 

图K23-10

13.[2017·无锡]在如图K23-11的正方形方格纸中,每个小四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于　　　　. 

图K23-11

14.如图K23-12所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1,B1C1交AC于点D,如果AD=2,则△ABC的周长等于　　　　. 

图K23-12

15.[2019·张家界] 如图K23-13,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=　　　　. 

图K23-13

16.[2019·自贡] 如图K23-14,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α,∠β如图所示,则cos(α+β)=　　　　. 

图K23-14

17.如图K23-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:

(1)线段BE的长;

(2)∠ECB的正切值.

图K23-15

|拓展提升|

18.[2018·苏州]如图K23-16,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C',连接B'C,则sin∠ACB'=　　　　. 

图K23-16

19.[2019·淄博] 如图K23-17,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将角B折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF.

如图①,当CD=AC时,tanα1=;

如图②,当CD=AC时,tanα2=;

如图③,当CD=AC时,tanα3=;

……

依此类推,当CD=AC(n为正整数)时,tanαn=　　　　. 

图K23-17

【参考答案】

1.D　[解析]A选项,构造Rt△ABC,∠C=90°,∠A=40°,∠B=50°,则sin50°=,cos40°=,∴sin50°=cos40°,式子正确;

B选项,构造Rt△ABC,∠C=90°,∠A=15°,∠B=75°,则tan15°·tan75°=·=1,式子正确;

C选项,sin225°+cos225°=1,式子正确;

D选项,sin60°=,sin30°=,≠2×,式子sin60°=2sin30°错误.故选D.

2.A　[解析]在Rt△ABC中,cosB===.

3.C　[解析]sinα=cosα==,tanC==2,sinβ=cosC=cos(90°-β),tanα==1,故选C.

4.B　[解析]由锐角三角函数的定义,得AB=,AD=,∴AB与AD的长度之比为,故选B.

5.D　6.D

7.B　[解析]设☉A与x轴的另一交点为点D,连接CD,则CD为☉A的一条直径,∠OBC=∠ODC,故

cos∠OBC=cos∠ODC==.

8.D　[解析] 过点D作DE∥AB交AC于点E.

∵∠BAD=90°,DE∥AB,∴∠ADE=90°.

∵tanB=,∴设AD=5k,AB=3k.

∵DE∥AB,∴==,DE=AB=k.

∴tan∠CAD===.故选D.

9.17　[解析]∵tanA=,即=,∴AC=8.根据勾股定理,得AB===17.

10.15-5　[解析]过点B作BM⊥FD于点M,

在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,∴∠ABC=30°,BC=10×tan60°=10,

∵AB∥CF,∴∠BCM=30°,∴BM=BC×sin30°=10=5,CM=BC×cos30°=15,

在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴MD=BM=5,

∴CD=CM-MD=15-5.

故答案是:15-5.

11.2　[解析]∵菱形的对角线互相垂直平分,

∴AC⊥BD.

∵tan∠BAC=,∴=.

∵AC=6,∴AO=3.

∴BO=1.∴BD=2BO=2.

故填2.

12.

13.3　[解析]如图,利用网格添加辅助线,作EF∥CD,交AB于点I,BG⊥EF于H,则tan∠BOD=tan∠BIH=3.

14.6+2　[解析]依题意∠B1AD=45°,AD=2,∴AB1=AB=ADcos45°=2=2.∵∠ACB=30°,

∴AC=2AB=2×2=4,∴BC===2,∴△ABC的周长等于2+4+2=6+2.

15.2　[解析]由正方形ABCD和点E,F分别为BC,CD边的中点,易证△ABE≌△BCF,可证得AE⊥BF,延长BF交AD的延长线于点G,可证△BCF≌△GDF,

∴DG=CB=AD,∴AD=DP=AG,

∴∠APD=∠DAE=∠AEB,

∴tan∠APD=tan∠AEB=2.故填2.

16.　[解析]如图,连接BC,

∵网格图是由10个完全相同的正三角形构成,

∴AD=DE=CE=BE,∠ADE=∠BEC=120°,

∴∠EBC=α=∠ECB=30°.

∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+30°=90°,

设小正三角形的边长为a,

则AC=2a,BC=2×sin60°·a=a,

在Rt△ACB中,AB==a.

∴cos∠ABC===,

又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β,

∴cos(α+β)=.

17.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,

∴AD=2.

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,

∴∠A=∠B=45°,AB===3.

∵DE⊥AB,

∴∠AED=90°,∠ADE=∠A=45°,

∴AE=AD·cos45°=2×=,

∴BE=AB-AE=3=2,

即线段BE的长为2.

(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示.

∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,

∴EH=BH=BE·cos45°=2=2.

∵BC=3,∴CH=1.

在Rt△CHE中,tan∠ECB===2.

即∠ECB的正切值为2.

18.　[解析]过点B'作B'D⊥AC于D,

由旋转可知:

∠B'AB=90°,AB'=AB=2,

∴∠AB'D+∠B'AD=∠B'AD+∠CAB=90°,

∴∠AB'D=∠CAB.

∵AB=2,BC=,

∴AC=5,

∴AD=AB'sin∠AB'D=AB'sin∠CAB=2=2,

∴CD=5-2=3,B'D==4,

∴B'C=5,

∴sin∠ACB'==.

19.　[解析]当n=1时,tanα1==;

当n=2时,tanα2==;

当n=3时,tanα3==;

……

∴tanαn==.