江苏2020中考一轮复习培优 第22课时　相似三角形的应用 练习课件

课时训练(二十二)　相似三角形的应用

(限时45分钟)

|夯实基础|

1.[2019·连云港] 在如图K22-1所示的部分象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似              (　　)

图K22-1

A.①处   B.②处   C.③处   D.④处

2.如图K22-2,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为 (     )

图K22-2

A.4    B.4   C.6    D.4

3.墙壁D处有一盏灯,小明站在A处测得他的影长与身高相等,都为1.6 m,小明向墙壁走0.6 m到B处发现影子刚好落在A点,则灯泡与地面的距离CD是              (　　)

图K22-3

A.2 m   B.2.6 m   C.2.56 m   D.2.8 m

4.[2019·绍兴] 如图K22-4①,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一条棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②是此时的示意图,则图②中水面高度为              (　　)

图K22-4

A.    B.    C.   D.

5.[2019·乐山] 把边长分别为1和2的两个正方形按如图K22-5的方式放置,则图中阴影部分的面积为 (　　)

图K22-5

A.        B.    

C.        D.

6.[2019·广元] 如图K22-6,过点A0(0,1)作y轴的垂线交直线l:y=x于点A1,过点A1作直线l的垂线,交y轴于点A2,过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3,…,这样依次下去,得到△A0A1A2,△A2A3A4,△A4A5A6,…,其面积分别记为S1,S2,S3,…,则S100为              (　　)

图K22-6

A.      B.

C.3×4199      D.3×2395

7.[2019·凉山州] 在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF=　　　　. 

8.如图K22-7,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20 cm,光源到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为　　　　cm. 

图K22-7

9.[2019·永州] 如图K22-8,已知点F是△ABC的重心,连接BF并延长,交AC于点E,连接CF并延长,交AB于点D,过点F作FG∥BC,交AC于点G.设三角形EFG,四边形FBCG的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=　　　　. 

图K22-8

10.[2018·陕西]周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.

已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图K22-9所示.

请根据相关测量信息,求河宽AB.

图K22-9

|拓展提升|

11.[2019·绵阳] 如图K22-10,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠ADC=90°,AB=5,CD=AD=3,点E是线段CD的三等分点,且靠近点C,∠FEG的两边与线段AB分别交于点F,G,连接AC分别交EF,EG于点H,K.若BG=,∠FEG=45°,则HK=              (　　)

图K22-10

A.   B.   C.   D.

12.[2019·衢州] 如图K22-11①,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形.

图K22-11

(1)将一个“7”字图形按如图②摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则的值为　　　　. 

(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推,…,摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1,…,则顶点F2019的坐标为　　　　. 

13.[2019·乐山]在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB,AC于点E,F.

(1)如图K22-12①,当EF∥BC时,求证:+=1.

(2)如图②,当EF和BC不平行,且点E,F分别在线段AB,AC上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.

(3)如图③,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.

①            ②             ③

图K22-12

【参考答案】

1.B　[解析]由网格得,“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2,2,4;

“车”“炮”之间的距离为1,“炮”②之间的距离为,“车”②之间的距离为2,∵==,∴马应该落在②的位置,故选B.

2.B　[解析]∵BC=8,

∴CD=4,在△CBA和△CAD中,

∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA∽△CAD,

∴=,∴AC2=CD·BC=4×8=32,

∴AC=4.

故选B.

3.C　[解析]利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出灯泡与地面的距离即可.

根据题意得:BG=AF=AE=1.6 m,AB=0.6 m,

∵BG∥AF∥CD,

∴△EAF∽△ECD,△ABG∽△ACD,

∴AE∶EC=AF∶CD,AB∶AC=BG∶CD,

∴CE=CD.

设AC=x m,则CD=CE=(1.6+x)m,

∴=,

解得:x=0.96,

∴CD=1.6+0.96=2.56(m),

故选C.

4.A　[解析]如图所示.设DM=x,则CM=8-x,

根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6,

解得:x=4,∴DM=4,

已知∠D=90°,由勾股定理得:BM===5,

过点B作BH⊥AH于H,∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°,

∴∠HBA=∠DBM,

∴Rt△ABH∽Rt△MBD,

∴=,即=,解得BH=,

即水面高度为.

故选A.

5.A　[解析]∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,∴AD=DC=1,CE=2,AD∥CE,∴△ADH∽△ECH,

∴=,∴=,解得DH=,∴阴影部分面积为×1=,故选A.

6.D　[解析]由一次函数解析式可得∠A1OA0=60°,A0O=1,A0A1=,A0A2=3,∴S1=,A2A3=4,A2A4=12,

∴S2=24,Sn=24Sn-1,∴Sn=S1·24(n-1),∴S100=×2396=3×2395.故选D.

7.4∶25或9∶25　[解析]在□ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,∵AD=BC,

∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.

8.18

9.1∶8　[解析]∵F是△ABC的重心,∴EF∶BF=1∶2,∴EF∶BE=1∶3,∵FG∥BC,∴△EFG∽△EBC,

∴=2=,∴S1∶S2=1∶8.

10.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD,

∴∠ABC=∠ADE=90°,

∵∠CAB=∠EAD,

∴△ABC∽△ADE,

∴=.

∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m,

∴AD=AB+8.5,∴=.

解得:AB=17.

∴河宽AB的长为17 m.

11.B　[解析]∵∠ADC=90°,CD=AD=3,

∴AC=3,

∵AB=5,BG=,∴AG=,

∵AB∥DC,

∴△CEK∽△AGK,

∴==,∴==,

∴==,

∵CK+AK=3,

∴CK=,

过E作EM⊥AB于M,则四边形ADEM是矩形,

∴EM=AD=3,AM=DE=2,

∴MG=,∴EG==,

∵=,∴EK=,

∵∠HEK=∠KCE=45°,∠EHK=∠CHE,

∴△HEK∽△HCE,

∴===,

∴设HE=3x,HK=x,

∵△HEK∽△HCE,∴=,

∴=,

解得:x=,∴HK=,

故选B.

12.(1)　(2),405　[解析](1)因为∠DBC+∠BDC=90°,∠DBC+∠OBA=90°,所以∠BDC=∠OBA,

又∠DCB=∠BOA=90°,所以△CDB∽△OBA,所以OB∶OA=CD∶CB=.

(2)过点C作CH⊥y轴于H点,过点F作FM⊥x轴于M点,连接AC,延长HC交FM于N点,因为OB∶OA=1∶2,AB=1,所以由勾股定理得OB=,OA=.因为∠CDH=∠ABO,∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌

△BOA,所以四边形OACH为矩形,DH=,HC=,易证△MAF∽△OBA,由AF=3得,AM=,FM=,易求

∠FNC=90°,在直角三角形NCF中,CN=AM=,CF=,NF==,在直角三角形ABC中,AC=,F点的坐标为,;根据规律,F1比F的横坐标增加个单位,纵坐标增加个单位,点F1的坐标为

×2,×2;F2比F1的横坐标增加个单位,纵坐标增加个单位,点F2的坐标为×3,×3;…,所以F2019的坐标为×2020,×2020,即,405.

13.[解析](1)根据重心性质与平行线分线段成比例定理证得结论;

(2)过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE,CB的延长线相交于点M,借助平行线分线段成比例定理以及比例变形得到结论;

(3)结论均不成立.可构造辅助线说明>1或>1.

解:(1)证明:∵G是△ABC的重心,∴=.

又∵EF∥BC,∴==,==,

则==1.

(2)(1)中结论成立,证明如下:如图,

过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE,CB的延长线相交于点M,

则=,=,

∴==.

∵D是BC的中点,∴BD=CD,

又∵BM+CM=BM+CD+DM,

∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,

∴=.

又∵==,

∴=2×=1,故结论成立.

(3)(1)中结论不成立,理由如下:如图,记AB的中点为M,连接CM,则C,G,M三点共线.

当点F在AC的延长线上时,BE=BM+ME>AE,

∴>1,则>1.

∴结论不成立.

同理:当点E在AB的延长线上时,>1,

∴>1,

∴结论不成立.