江苏2020中考一轮复习培优 第21课时　相似与位似 练习课件

课时训练(二十一)　相似与位似

(限时45分钟)

|夯实基础|

1.[2017·连云港] 如图K21-1,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是 (　　)

图K21-1

A.=       B.=

C.=     D.=

2.[2019·赤峰] 如图K21-2,D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是 (　　)

图K21-2

A.1    B.2    C.3    D.4

3.[2019·巴中] 如图K21-3,▱ABCD中,F为BC中点,延长AD至E,使DE∶AD=1∶3,连接EF交DC于点G,则S△DEG∶S△CFG=              (　　)

图K21-3

A.2∶3   B.3∶2   C.9∶4   D.4∶9

4.如图K21-4所示,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为              (　　)

图K21-4

A.(3,3)   B.(4,3)   C.(3,1)   D.(4,1)

5.[2019·淄博] 如图K21-5,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为              (　　)

图K21-5

A.2a    B.a    C.3a    D.a

6.[2018·泸州] 如图K21-6,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是              (　　)

图K21-6

A.    B.    C.    D.

7.[2017·常州] 如图K21-7,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是              (　　)

图K21-7

A.(2,7)   B.(3,7)   C.(3,8)   D.(4,8)

8.[2019·杭州] 如图K21-8,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则　              (　　)

图K21-8

A.=   B.=   C.=   D.=

9.[2018·扬州] 如图K21-9,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD与BE,AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP·MD=MA·ME;③2CB2=CP·CM.其中正确的是              (　　)

图K21-9

A.①②③ 　  B.①    C.①②   D.②③

10.[2019·本溪] 在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为　　　　. 

11.[2017·镇江] 如图K21-10,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD'E',点D的对应点落在边BC上,已知BE'=5,D'C=4,则BC的长为　　　　. 

图K21-10

12.如图K21-11,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1　　　　S2.(填“>”“<”或“=”) 

图K21-11

13.[2018·安徽]如图K21-12,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.

(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;

(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;

(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　　　　个平方单位. 

图K21-12

14.[2017·杭州] 如图K21-13,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.

(1)求证:△ADE∽△ABC;

(2)若AD=3,AB=5,求的值.

图K21-13 

|拓展提升|

15.[2018·包头]如图K21-14,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C,若∠BOC=∠BCO,则k的值为              (　　)

图K21-14

A.    B.    C.   D.2

16.[2015·连云港] 如图K21-15,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为　　　　. 

图K21-15

17.[2019·安徽]如图K21-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,

且∠APB=∠BPC=135°.

(1)求证:△PAB∽△PBC;

(2)求证:PA=2PC;

(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:=h2·h3.

图K21-16

【参考答案】

1.D　[解析]已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2,A选项中BC与DF不是对应边;B选项中的∠A和∠D是一对对应角,根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A=∠D;根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得两个三角形的面积比是1∶4,根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2;因此A,B,C选项错误,D选项正确.

2.C　[解析]∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,

∴=,即=,解得AE=3,

故选:C.

3.D　[解析]因为DE∶AD=1∶3,F为BC中点,所以DE∶CF=2∶3,▱ABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2∶3,所以S△DEG∶S△CFG=4∶9.故选D.

4.A　[解析] 根据题意可知A(6,6),原点O为位似中心且在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,所以C(3,3),故选A.

5.C　[解析]在△BAC和△ADC中,

∵∠C=∠C,∠CAD=∠B,

∴△BAC∽△ADC,

∵=2,∴=2=4,

又∵△ADC的面积为a,

∴△ABC的面积为4a,

∴△ABD的面积为3a.

6.C　[解析]因为正方形ABCD中,AE=3ED,DF=CF,所以设正方形ABCD的边长为4a,则AE=3a,ED=a,DF=CF=2a,延长BE,CD交于点M,易得△ABE∽△DME,可得MD=a,因为△ABG∽△FMG,AB=4a,MF=a,所以==.

7.A　[解析]如图,作CE⊥y轴,垂足为E.

∵OD=2OA=6,∴OA=3.

由互余角易得Rt△CED∽Rt△DOA,

∴==,

又∵CD=AB,

∴==,

∴CE=2,DE=1,

∴OE=7,

∴C点的坐标为(2,7).

8.C　[解析]根据DE∥BC,可得△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴=,∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,∴=,∴=.故选C.

9.A　[解析]由已知:AC=AB,AD=AE,∴=.∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD,∴△BAE∽△CAD,

∴①正确.

∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA.又∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD,∴=,∴MP·MD=MA·ME,

∴②正确.

∵∠BEA=∠CDA,∠PME=∠AMD,易得P,E,D,A四点共圆,∴∠APD=∠AED=90°.

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°,∴△CAP∽△CMA,∴AC2=CP·CM,

∵AC=AB,∴2CB2=CP·CM,

∴③正确.

故选A.

10.(2,1)或(-2,-1)　[解析]以点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,点A的坐标是(4,2),

则点A的对应点A1的坐标为4×,2×或-4×,-2×,即(2,1)或(-2,-1),

故答案为(2,1)或(-2,-1).

11.2+　[解析]①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC,即有=;②由题意可得BE=BE'=5,BD=BD'=BC-D'C=BC-4,AB=6.设BC=x,由①、②可列方程:=,解之得x=2+(2-已舍),故BC的长为2+.

12.=　[解析]∵点P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,∴=,即AP2=PB·AB.∵S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,∴S1=AP2,S2=PB·AB,∴S1=S2.

13.解:(1)(2)如图所示.

(3)20.

14.解:(1)证明:∵AF⊥DE于点F,AG⊥BC于点G,

∴∠AFE=90°,∠AGC=90°,

∴∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC.

又∵∠EAF=∠GAC,∴∠AEF=∠C.

又∵∠DAE=∠BAC,

∴△ADE∽△ABC.

(2)∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B.

又∵∠AFD=∠AGB=90°,

∴△AFD∽△AGB,∴=.

∵AD=3,AB=5,∴=.

15.B　[解析]在y=-x+1中,令x=0,得y=1,∴OB=1.

令y=0,得x=2,∴OA=2.

在Rt△OAB中,由勾股定理得AB===3.

∵∠BOC=∠BCO,

∴BO=BC=1,

∴AC=3-1=2.

作CD⊥OA于点D,则△ADC∽△AOB,

∴=,即=,解得CD=.

将y=代入y=-x+1得x=,

∴C,.

将C,的坐标代入y=kx得k=,

故选择B.

16.　[解析] 如图,过点B作DE⊥l2,交l1,l3于点D,E,过点C作CF⊥l1,垂足为F,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,

∴=tan30°=.

∵l1∥l2∥l3,∴DE⊥l1,DE⊥l3,

则∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,∴∠1=∠3.

在△ABD与△BCE中,∠1=∠3,∠ADB=∠BEC=90°,

∴△ABD∽△BCE.

∴==,

即==,解得AD= ,CE=.

则AF=CE-AD=,

在Rt△ACF中,AC===.

故答案为.

17.【思路分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,解题的关键是相似三角形的性质和判定的综合运用,作出适当的辅助线.

(1)根据两内角相等的三角形相似证明;

(2)可运用(1)中相似比例的结论进行推理;

(3)利用(2)的结论推理出h2与h3之间的数量关系,再利用(1)的结论推理出h1与h2之间的数量关系,由此推出结论.

解:(1)证明:在△ABP中,∠APB=135°,

∴∠ABP+∠BAP=45°,

又△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,即∠ABP+∠CBP=45°,

∴∠BAP=∠CBP,

又∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.

(2)证明:由(1)知△PAB∽△PBC,

∴===,

∴=·=2,即PA=2PC.

(3)方法一:如图①,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,

PR=h2,PS=h3,

在Rt△CPR中,=tan∠PCR==,

∴=,即h3=2h2.

又由△PAB∽△PBC,且=,得:=,即h1=h2,

∴=h2·h3.

方法二:如图②,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,连接SQ,SR,RQ,易知四边形ASPQ,四边形BRPQ都有外接圆,

∴∠PSQ=∠PAQ,∠PQR=∠PBR,

由(1)可知∠PAB=∠PBC,

∴∠PSQ=∠PQR.

又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°,

∴△PSQ∽△PQR,∴=,即PQ2=SP·PR,∴=h2·h3.