江苏2020中考一轮复习培优 第26课时　矩形、菱形、正方形 练习课件

第五单元　四边形
考点一　矩形
直角
两
直
相等
斜边
（续表）
相等
【温馨提示】(1)矩形的一条对角线将矩形分成两个全等直角三角形;(2)矩形的两条对角线将矩形分成面积相等的四个小等腰三角形.注意直角三角形的性质的应用:如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点二　菱形
邻边
相等
垂直
一组对角
（续表）
相等
垂直
一半
【温馨提示】菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形.注意等腰三角形和直角三角形的性质的应用.
考点三　正方形
相等
直角
平行
相等
直角
垂直平分
四
判定正方形的思路图,如图26-1.
图26-1
考点四　中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理.常见结论如下:
平行四边形
矩形
正方形
1.[八下P83习题第1题改编]下列说法中正确的是 (　　)A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线相等且互相平分的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
题组一　必会题
D
图26-2
C
图26-3
[答案]D [解析] ∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,∴△ADE≌△ABF,F,B,C三点共线,∴S正方形ABCD=S四边形AECF=25,∴正方形的边长AD=CD=5,∴在Rt△ADE中,故选D.
4.[八下P75练习第1题改编]如图26-4,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∠AOD=120°,AB=4 cm.则矩形对角线的长为　　　　cm. 
[答案] 8
图26-4
5.[八下P84习题第11题改编]如图26-5,E是正方形ABCD边BC延长线上的一点,且CE=AC,则∠E=　　　　°. 
[答案] 22.5[解析] ∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,∴∠ACB=45°. ∵CE=AC,∴∠E=∠CAE.∵∠E+∠CAE=∠ACB,∴∠E+∠CAE=45°,∴∠E=22.5°.
图26-5
题组二　易错题
【失分点】特殊四边形的性质和判定混淆;不能选择恰当的结论解决问题.
6.[2019·攀枝花]下列说法错误的是(　　)A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形
[答案]B[解析]对角线相等的四边形不一定是矩形,如等腰梯形.故选B.
图26-6
[答案]B[解析]因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°,所以∠BAC+∠BCA=90°,即∠BAE+∠EAC+∠ECA=90°.由折叠得∠BAE=∠EAC,又因为∠EAC=∠ECA,所以3∠ECA=90°,所以∠ECA=30°.在Rt△ABC中,AC=2AB=2×3=6.
8.[2018·日照]如图26-7,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO, BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是 (　　)A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO
图26-7
B
图26-8
[答案]A
10.[2018·徐州]若菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm,则其面积为　　　　cm2. 
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考向一　矩形性质及判定的应用
例1 如图26-9所示,在矩形ABCD中,AC,BD是对角线,过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E,求证:△ACE是等腰三角形.
图26-9
证法1:在矩形ABCD中,AC=BD,AB∥CD.∵BD∥EC,BE∥DC,∴四边形BDCE是平行四边形,∴BD=EC.∴AC=EC,∴△ACE是等腰三角形.
证法2:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠EBC=90°,AB∥DC,AB=DC.∵EC∥BD,∴四边形BDCE是平行四边形,∴EB=CD,∴AB=EB.在△ABC和△EBC中,∵AB=EB,∠ABC=∠EBC,BC=BC,∴△ABC≌△EBC,∴AC=EC,∴△ACE是等腰三角形.
| 考向精练 |
图26-10
[答案] B
2.[2019·潍坊]如图26-11,在矩形ABCD中, AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB=　　　　. 
图26-11
3.如图26-12,将▱ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交BC于点F.(1)求证:△BEF≌△CDF;(2)连接BD,CE,若∠BFD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
图26-12
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BE∥CD,AB=CD.又BE=AB,∴BE=CD.∵BE∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF,∴△BEF≌△CDF.(2)证明:由(1)得,BE∥CD且BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠FCD,又∠BFD=2∠A,∠BFD=∠FCD+∠FDC,∴∠FCD=∠FDC,∴FD=FC,∴DE=BC,∴四边形BECD是矩形.
考向二　菱形性质及判定的应用
图26-13
图26-13
| 考向精练 |
1.[2019·苏州]如图26-14,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16.将△ABO 沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'. 当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为 (　　)A.6 B.8 C.10 D.12
图26-14
[答案] C
图26-15
[答案]27
图26-16
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF.又∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB.又∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形.又∵BD=AD,∴四边形AEBD是菱形.
图26-16
考向三　正方形性质及判定的应用
例3[2019·长沙]如图26-17,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.
图26-17
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.
例3[2019·长沙]如图26-17,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.
图26-17
| 考向精练 |
1.[2019·攀枝花]如图26-18,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于G.连接AG,现在有如下四个结论:①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.其中结论正确的个数是 (　　)A.1 B.2 C.3 D.4
图26-18
[答案]B
2.[2017·泰州]如图26-19,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DAF;(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.
图26-19
解:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,即∠DAF+∠BAE=90°.∵BE⊥AG,DF⊥AG,∴∠AEB=∠DFA=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE=∠DAF,∴△ABE≌△DAF.
2.[2017·泰州]如图26-19,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.
图26-19
考向四　特殊平行四边形的综合应用 微专题
角度1　判断四边形的形状并证明
例4[2018·吉林]如图26-20①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为　　　　; (3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.
图26-20
解:(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC,∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC,∴EF∥AB,∴四边形ADEF为平行四边形.
例4[2018·吉林]如图26-20①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为　　　　; 
图26-20
(2)菱形
(3)四边形AEGF为矩形.理由:∵四边形ADEF为平行四边形,∴AF=DE,AD=EF,∵EG=DE,∴AF=EG,又∵AF∥EG,∴四边形AEGF是平行四边形,∵AD=AG,∴AG=EF,∴四边形AEGF为矩形.
例4[2018·吉林]如图26-20①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.
图26-20
角度2　综合运用特殊四边形的性质或判定进行计算或证明
例5 如图26-21,平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=　　　　cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE=　　　　cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由) 
图26-21
例5 如图26-21,平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(2)①当AE=　　　　cm时,四边形CEDF是矩形; (直接写出答案,不需要说明理由) 
图26-21
(2)①3.5
例5 如图26-21,平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(2)②当AE=　　　　cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由) 
图26-21
(2)②2
| 考向精练 |
1.[2019·北京]在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;②存在无数个四边形MNPQ是矩形;③存在无数个四边形MNPQ是菱形;④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是　　　　. 
[答案] ①②③[解析] 如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,过点O的直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,则四边形MNPQ是平行四边形,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,故①正确;如图,当PM=QN时,四边形MNPQ是矩形,存在无数个四边形MNPQ是矩形;故②正确;如图,当PM⊥QN时,存在无数个四边形MNPQ是菱形;故③正确;当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,则△AMQ≌△DQP,∴AM=QD,AQ=PD,易知△PDQ≌△MBN,∴PD=BM,∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾,故④错误.填①②③.
2.[2018·通辽]如图26-22,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图26-22
解:(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB.
2.[2018·通辽]如图26-22,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图26-22
(2)四边形ADCF是矩形.证明如下:∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴AF=BD,∴BD=CD,即AD是△ABC的中线,∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF是矩形.
3.[2019·青岛]如图26-23,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
图26-23
3.[2019·青岛]如图26-23,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
图26-23
(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:∵AC=2OA,AC=2AB,∴AB=OA.∵E是OB的中点,∴AG⊥OB,∴∠OEG=90°,同理:CF⊥OD,∴AG∥CF,∴EG∥CF,∵EG=AE,OA=OC,∴OE是△ACG的中位线,∴OE∥CG,∴EF∥CG,∴四边形EGCF是平行四边形,∵∠OEG=90°,∴四边形EGCF是矩形.
考向五　中点四边形
例6 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图26-24①,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图②,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
图26-24
例6 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(2)如图②,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
图26-24
例6 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
图26-24
(3)四边形EFGH是正方形. [解析]如图②,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,又∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°.∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠HNO=∠DOC=90°,∠EHG=180°-∠HNO=90°.∵四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH是正方形.
【方法点析】依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.
| 考向精练 |
1.[2019·娄底]顺次连接菱形四边中点得到的四边形是 (　　)A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.正方形
图26-25
[答案] C
2.[2019·雅安]如图26-26,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG, GH,HE,则四边形EFGH的形状是(　　)A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形
图26-26
[答案] C