江西省上高二中2021届高三上学期第四次月考 数学（文） (含答案) 试卷

上高二中2021届高三上学期第四次月考
文科数学
一．选择题（共12小题）
1．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（　　）
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1
D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1
2．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁RA∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．∅ C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
3．如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP＝x（x∈[0，]），BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为y＝f（x），则函数f（x）的图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
4．若两个正实数x，y满足＝2，且不等式x+＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
5．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）
6．已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，β均为锐角，则sin2β＝（　　）
A． B． C． D．1
7．设a，b，c均为正数，且ea＝﹣lna，e﹣b＝﹣lnb，e﹣c＝lnc，则（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
8．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，0） B．（﹣5，0） C．[﹣3，0） D．（﹣3，0）
9．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＞0，f（﹣2）＝1，则不等式＜的解集是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（0，2）
10．已知函数f（x）＝cos2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，]∪[，）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
11．已知定义域为R的函数f（x）满足：当x≤0时，f（x）＝xex，x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）．若g（x）＝k（x+1），且方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，﹣] C．（﹣∞，﹣） D．（﹣∞，﹣]
12．对于函数，下列结论中正确结论的个数为（　　）
①f（x）在x＝e处取得极大值；②f（x）有两个不同的零点；③f（π）＜f（2）＜f（3）；
④若在（0，+∞）上恒成立，则k＞1；⑤∀x＞0，恒成立．
A．4 B．3 C．2 D．1个
二．填空题（共4小题）
13．设a∈R，若函数y＝ex+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是　 　．
14．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则实数a的值为　 　．
15．若＝，tan（β﹣2α）＝1，则tan（α﹣β）＝　 　．
16．函数的最大值为　 　．
三．解答题（共6小题）
17．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣1|．
（1）若f（x）≥x+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（2）记函数f（x）的最小值为s，若a，b，c＞0，且a+b+c＝s，证明：4ab+bc+ac≥8abc．
18．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）
（1）求l和C的普通方程；
（2）设点P（5，2），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
19．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
x





ωx+φ
0

π

2π
Asin（ωx+φ）

2



（1）求函数f（x）的解析式，并补全表中其它的数据；
（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数y＝f（x）在一个周期内的图象；
（3）写出函数y＝f（x）（x∈R）的单调减区间．

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1．
（1）求证：EF∥平面DCP；
（2）求F到平面PDC的距离．

21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）求cosB的值；
（2）若a+c＝3，求AC边上中线长的最小值．
22．已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax2﹣x，g（x）＝alnx﹣+2x，
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣2y+2＝0平行，求实数a的值；
（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点x1，x2，其中，求h（x1）﹣h（x2）的最小值（注：其中e为自然对数的底数）．

上高二中2021届高三数学（文科）第四次月考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（　　）
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1
D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1
【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；
命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；
命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；
命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．
故选：B．
2．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁RA∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．∅ C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，
所以∁RA＝（﹣1，2），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，
则∁RA∩B＝∅．
故选：B．
3．如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP＝x（x∈[0，]），BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为y＝f（x），则函数f（x）的图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：当∠ABP＝x（x∈[0，]），f（x）＝tanx，
当∠ABP＝x（x∈[，]），f（x）＝1﹣tan（﹣x）＝1﹣，
故只有D符合，
故选：D．
4．若两个正实数x，y满足＝2，且不等式x+＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【解答】解：若不等式x+＜m2﹣m有解，即m2﹣m＞（x+）min即可，
∵＝2，∴+＝1，
则x+＝（x+）（+）＝+++≥1+2＝1+2×＝1+2×＝1+1＝2，
当且仅当＝，即y2＝16x2，即y＝4x时取等号，此时x＝1，y＝4，
即（x+）min＝2，
则由m2﹣m＞2得m2﹣m﹣2＞0，即（m+1）（m﹣2）＞0，
得m＞2或m＜﹣1，
即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
故选：D．
5．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）
【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，
则函数f（x）在R上为减函数，
∵函数f（x）＝，
故，
解得：a∈（﹣∞，]，
故选：B．
6．已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，β均为锐角，则sin2β＝（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：因为α，β均为锐角，所以β﹣α∈，所以，，
由sinβ＝sin[α+（β﹣α）]
＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）
＝＝，
所以，，
所以sin2β＝2sinβcosβ＝1，
故选：D．
7．设a，b，c均为正数，且ea＝﹣lna，e﹣b＝﹣lnb，e﹣c＝lnc，则（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【解答】解：在同一坐标系中分别画出y＝ex，y＝e﹣x，y＝lnx，y＝﹣lnx的图象，
y＝ex与y＝﹣lnx的交点的横坐标为a，
y＝e﹣x与y＝﹣lnx的图象的交点的横坐标为b，
y＝e﹣x与y＝lnx的图象的交点的横坐标为c，
从图象可以看出a＜b＜c．
故选：D．

8．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，0） B．（﹣5，0） C．[﹣3，0） D．（﹣3，0）
【解答】解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，
在（﹣2，0）上是减函数，
作其图象如右图，
令x3+x2﹣＝﹣得，
x＝0或x＝﹣3；
则结合图象可知，
；
解得，a∈[﹣3，0）；
故选：C．

9．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＞0，f（﹣2）＝1，则不等式＜的解集是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（0，2）
【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＝，
因为xf′（x）﹣2f（x）＞0，
所以，当x＞0时，g′（x）＞0，即g（x）在区间（0，+∞）单调递增；
又f（x）是R上的偶函数，
所以g（x）＝是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
又f（2）＝f（﹣2）＝1；
故g（2）＝＝，
于是，不等式＜化为g（x）＜g（2），
故|x|＜2，
解得﹣2＜x＜2，又x≠0，
故选：C．
10．已知函数f（x）＝cos2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，]∪[，）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
【解答】解：函数f（x）＝cos2+sinωx﹣＝cosωx+sinωx＝sin（ωx+），
可得T＝，≥π，0＜ω≤1，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：
或，

解得ω∈（0，]∪[，]．
故选：D．
11．已知定义域为R的函数f（x）满足：当x≤0时，f（x）＝xex，x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）．若g（x）＝k（x+1），且方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，﹣] C．（﹣∞，﹣） D．（﹣∞，﹣]
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝xex的导数为f′（x）＝（x+1）ex，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
则x＝﹣1处f（x）取得极小值f（﹣1）＝﹣，
由x＞0时，f（x）＝f（x﹣1），可将y＝f（x）在（﹣1，0]的图象每向右平移一个单位，可得
f（x）在x＞0时的图象，如右图：
由方程f（x）﹣g（x）＝0有两个不同的实根，可得y＝f（x）和y＝g（x）的图象有两个交点．
又y＝g（x）＝k（x+1）的图象为恒过定点（﹣1，0）的直线，当该直线经过点A（0，﹣）时，k＝﹣；
当该直线经过点A（1，﹣）时，k＝﹣．
由图象可得当﹣＜k≤﹣时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有两个交点．
故选：B．

12．对于函数，下列结论中正确结论的个数为（　　）
①f（x）在x＝e处取得极大值；②f（x）有两个不同的零点；③f（π）＜f（2）＜f（3）；
④若在（0，+∞）上恒成立，则k＞1；⑤∀x＞0，恒成立．
A．4 B．3 C．2 D．1个
【解答】解：∵，
令f′（x）＝0，得x＝e，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是（e，+∞），
∴当x＝e时，f（x）有极大值f（e）＝．所以①正确．
∵x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→0，
∴f（x）只有一个零点．所以②错误．
由上知f（x）减区间是（e，+∞），
∴f（3）＞f（π）＞f（4），
又∵f（4）＝f（2），
∴f（2）＜f（π）＜f（3）．所以③错误．
若在（0，+∞）上恒成立，
则k＞，
令G（x）＝，
，
可得x∈（0，1）时，G′（x）＞0，
x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，
∴G（x）max＝G（1）＝1，
∴k＞1．所以④正确．
令g（x）＝f（x）﹣xlnx﹣＝ （x＞0），
（x＞0），
令h（x）＝1﹣lnx﹣x2lnx﹣x2（x＞0），
＝，
∴h（x）在（0，+∞） 单调递减，
又∵h（1）＝0，
∴在x∈（0，1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增，
在x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，
当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝＜0．
∴∀x＞0，g（x）＜0，
∴∀x＞0，恒成立．所以⑤正确．
∴正确结论为①④⑤．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．设a∈R，若函数y＝ex+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是　{a|a＜﹣1}　．
【解答】解：∵y＝ex+ax，
∴y'＝ex+a．
由题意知ex+a＝0有大于0的实根，
由ex＝﹣a，得a＝﹣ex，
∵x＞0，
∴ex＞1．
∴a＜﹣1．
故答案为：{a|a＜﹣1}．
14．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则实数a的值为　1　．
【解答】解：由f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2，得f′（x）＝aex﹣2+（ax﹣1）ex﹣2，
∴f′（2）＝a+2a﹣1＝3a﹣1，
又f（2）＝2a﹣1，
∴曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣2a+1＝（3a﹣1）（x﹣2），
代入（3，3），得4﹣2a＝3a﹣1，解得a＝1．
故答案为：1．
15．若＝，tan（β﹣2α）＝1，则tan（α﹣β）＝　2　．
【解答】解：由＝，得，即tanα＝3．
又tan（β﹣2α）＝1，
∴tan（α﹣β）＝tan[﹣α﹣（β﹣2α）]＝﹣tan[α+（β﹣2α）]
＝﹣＝．
故答案为：2．
16．函数的最大值为　　．
【解答】解：由题意可得：f'（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1＝（2cosx﹣1）（cosx+1），
∵cosx+1≥0，
∴当时，f'（x）＞0，
当时，f'（x）＜0，
即当时，f（x）单调递增，
当时，f（x）单调递减，
故f（x）在处取得极大值即最大值，
且．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣1|．
（1）若f（x）≥x+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（2）记函数f（x）的最小值为s，若a，b，c＞0，且a+b+c＝s，证明：4ab+bc+ac≥8abc．
【解答】解：（1）设g（x）＝f（x）﹣x＝|x﹣3|+|x﹣1|﹣x＝，
画出图象如下：g（x）的最小值为g（3）＝﹣1，
故m≤﹣1；
（2）证明：由f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|＝2，当且仅当1≤x≤3时，取等号，
所以s＝2，即a+b+c＝2，
4ab+bc+ac≥8abc可化为，
由柯西不等式，（a+b+c）（）≥（1+1+2）2＝16，
当且仅当2a＝2b＝c＝1时，取等号，
所以，
故原命题成立．
18．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）
（1）求l和C的普通方程；
（2）设点P（5，2），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）：所以a＝±1，
转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝1．
直线l的参数方程为（t为参数），转换为，转换为直角坐标方程为y+1＝．
（2）直线l的参数方程为代入（x﹣1）2+（y+2）2＝1，得到：，
所以，t1t2＝31．
故＝
19．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
x





ωx+φ
0

π

2π
Asin（ωx+φ）

2



（1）求函数f（x）的解析式，并补全表中其它的数据；
（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数y＝f（x）在一个周期内的图象；
（3）写出函数y＝f（x）（x∈R）的单调减区间．

【解答】解：（1）根据用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的步骤方法，
由所给的表格可得A＝2，ω•+φ＝，且ω•+φ＝2π，
∴ω＝2，φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），
可得表格应为：
x





ωx+φ
0

π

2π
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
（2）根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，
如图：
（3）根据函数的图象以及周期性可得它的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1．
（1）求证：EF∥平面DCP；
（2）求F到平面PDC的距离．

【解答】（本小题满分12分）
解：（1）取PC中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB中点，∴，
∵E为DA中点，ABCD为正方形，∴，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC．
（2）∵EF∥平面PDC，∴F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，∵PA＝AD＝1，在Rt△PAD中，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，
∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则，
∵PD2+DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，
∴，
∴VE﹣PDC＝VC﹣PDE，设E到平面PDC的距离为h，
则，
解得，∴F到平面PDC的距离为．

21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）求cosB的值；
（2）若a+c＝3，求AC边上中线长的最小值．
【解答】解：（1）＝，得3sinAcosB＝﹣sin（B+C）＝﹣sinA，sinA≠0，所以
（2）如图：设AC边上的中点为E，

在△BAE中，由余弦定理得：cosA＝，cosB＝，其中b2＝，
又＝＝＝＝，当a＝c＝1.5时取到”＝”
所以AC边上中线长的最小值为．
22．已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax2﹣x，g（x）＝alnx﹣+2x，
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣2y+2＝0平行，求实数a的值；
（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点x1，x2，其中，求h（x1）﹣h（x2）的最小值（注：其中e为自然对数的底数）．
【解答】解：（1）f′（x）＝+2ax﹣1，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣2y+2＝0平行，
∴f′（1）＝+2a﹣1＝，
解得a＝1；
（2），
由题意得方程x2+ax+1＝0的两根分别为x1，x2，且x1+x2＝﹣a，x1x2＝1
所以，
则
设，则
当时，φ'（x）＜0恒成立，所以φ（x）在上单调递减，
所以，即h（x1）﹣h（x2）的最小值为．