2021届上海市宝山区一模数学试卷 (含答案)

2020学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．若集合，则      ．      抛物线的准线方程为      ．已知复数满足（i为虚数单位），则      ．设向量，，则与的夹角的大小为      （结果用反三角函数值表示）．已知二项式，则其展开式中的常数项为      ．若实数满足则的最大值为      ．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为      ．方程在区间上的所有解的和为      ．已知函数的周期为2，且当时，，那么      ．设数列的前项和为，对任意，均有，则      ．  设函数（），给出下列结论：①当时，为偶函数；②当时，在区间上是单调函数；③当时，在区间上恰有3个零点；④当时，设在区间（）上的最大值为，最小值为，则．     则所有正确结论的序号是      ． 若定义在上的函数满足：存在，使得成立，则称与在上具有性质．设函数与，其中，已知与在上不具有性质，将的最小值记为．设有穷数列满足，（，），这里[]表示不超过的最大整数．若去掉中的一项后，剩下的所有项之和恰可表为（），则的值为      ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．直线的一个法向量可以是                                    （  ）（）      （）      （）      （） “函数（，且）的最小正周期为2”是“”的  （  ）（）充分非必要条件                  （）必要非充分条件（）充要条件                        （）既非充分又非必要条件    从这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为                                                （  ）（）         （）         （）         （）    下列结论中错误的是                                                  （  ）（）存在实数满足并使得成立；（）存在实数满足并使得成立；（）满足且使得成立的实数不存在；（）满足且使得成立的实数不存在．          三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．如图，在长方体中，为上一点，已知，．（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点到平面的距离．           （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分． 已知函数（）．（1）当时，解不等式；（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围．        （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设函数（，）最小正周期为，且的图象过坐标原点．（1）求的值；（2）在中，若，且三边所对的角依次为．试求的值．      （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．已知分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一点．（1）若点的坐标为（），求的面积；（2）若点的坐标为，且直线（）与交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；  （3）如右图，设点的坐标为，过坐标原点作圆：（其中为定值，，且）的两条切线，分别交于点，直线的斜率分别记为．如果为定值．试问：是否存在锐角，使得？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．          （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．若有穷数列：满足，（这里，，，常数），则称有穷数列具有性质．（1）已知有穷数列具有性质（常数），且，试求的值；（2）设（，，，常数），判断有穷数列是否具有性质，并说明理由；（3）若有穷数列：具有性质，其各项的和为，将中的最大值记为A．当时，求的最小值．                                  参考答案 一、填空题(本大题共有12题，满分54分) 　　1．   　　   2．  　　   3．  　　 4．  　　    5．  　　    6．     　　7．π    　　　　　　　8．π  　　   　　9．  　　  10．  　　   　11．  　　　12． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．    　　        14．    　　        15．    　　        16．   三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：方法一：（1）联结，在长方体中，                              因为平面，即 平面，                  所以直线与平面所成的角即为，             在中，由，可得，      显然 ，故，所以 直线与平面所成角的大小为． （2） 由已知可得，，所以．又易得． 设点到平面的距离为．在长方体中，因为平面，即平面，       再由得， 所以，＝＝．即 点到平面的距离为． 方法二：（1）如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系．　　  由已知可得、、、、，      故， 又平面的一个法向量，       设直线与平面所成角的大小为，      则＝ ＝＝，注意到，故， 所以 直线与平面所成角的大小为．  （2）注意到，，及，，    故   ，，，   设平面的一个法向量为，    由已知，得，即 ，所以， 可取，     所以点到平面的距离为 ＝＝．                                        即 点到平面的距离为．  18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分 解：（1）当时，，由得，即 ， 解得或，                                                 　　　　所以，原不等式的解集为． （2）函数存在零点 　方程有解， 亦即 有解，注意到在上递减，故 ，从而，实数的取值范围为．  19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得 ，所以 ，故，因为的图象过坐标原点，所以，即 ， 注意到， 因此，．  （2） 由（1）得，故由已知，可得，利用正、余弦定理，并整理得 ，因为 ，所以 ，又，所以，且，，故．  20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．解：（1）由已知条件得 ，因为，所以，又的坐标分别为，因此，的面积为．（2）设，由得，显然，且，又，所以，，                                                     　　即　　为定值．   　（3）满足的锐角不存在．　　　 理由如下：　　因为直线：与相切，所以，即 ，                                  同理，由直线：与相切，可得        ，于是，是关于ξ的方程的两实根， 注意到，且，故 ，因为定值，故不妨设（定值），于是有  ，即 ．依题意可知，变化，而均为定值，所以，解得，，　再设，由得；同理可得．所以  ，即 ，亦即 ，                （※）                   　　若锐角θ ，使，则，与（※）相矛盾．          因此，这样的锐角不存在．  　 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．解：（1）因为有穷数列具有性质，所以，|－|≥t，（），        再由已知条件可得，，  即  ，而，所以，．注意到，所以，．（2）当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．    　    理由如下：     若，则有穷数列显然不具有性质．      若，则由，可得 ， 所以，（），且，    同理可得，（），所以， ，且，…，              一般地，若（），则，且，  于是，， 所以，，且（仍有，这里，，），              因此，当时，有穷数列具有性质．      综上，当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质． （3）由已知可得， ，…………，，     故，即  ，整理得  ，　显然，于是有  ，注意到，且，  所以A＋n≥110，可取，因此，的最小值为110．