2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 精专题09 圆（二）（学生版）

专题09 圆（二）

一、解答题

1．（2020·上海九年级二模）如图，在O中，半径长为1，弦，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的交BC延长线于点E．

（1）若，求与公共弦的长；

（2）当为等腰三角形时，求BC的长；

（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

2．（2019·上海长宁·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．

（1）求证：BE=DE；

（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；

（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．

3．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE．

（2）若DE=，AB=6，求AE的长．

（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．

4．（2018·上海杨浦·中考模拟）结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.

解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.

根据切线长定理，得，，.

根据勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?

请你帮她完成下面的探索.

已知：的内切圆与相切于点，，.

可以一般化吗？

（1）若，求证：的面积等于.

倒过来思考呢？

（2）若，求证.改变一下条件……

（3）若，用、表示的面积.

5．（2017·上海普陀·中考模拟）已知P是的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，OP=m，，如图所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．

（1）当m=6时，求线段CD的长；

（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；

（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．

6．（2016·上海宝山·九年级期末） 如图点在以为直径的半圆的圆周上，若 为边上一动点，点和关于对称 ，当与重合时，为的延长线上满足的点，当与不重合时，为的延长线与过且垂直于的直线的交点，

（1）当与不重合时，的结论是否成立？试证明你的判断．

（2）设 求关于 的函数及其定义域；

（3）如存在或恰好落在弧或弧上时，求出此时的值；如不存在，则请说明理由．

（4）请直接写出当从运动到时，线段扫过的面积．

7．（2019·黑龙江九年级期末）已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．

(1)如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；

(2)如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；

(3)在(2)的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．

8．（2020·浙江九年级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点E恰好是AO的中点，求的长；

（3）若CF的长为，①求⊙O的半径长；②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．

9．（2020·浙江九年级期末）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．

尝试运用

（1）如图1，在中，，，，是的平分线．

①证明是“类直角三角形”；

②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

类比拓展

（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．

10．（2019·湖北宜昌·九年级期末）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．

（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；

（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；

（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．

11．（2020·尚志市田家炳中学九年级期末）已知四边形为的内接四边形，直径与对角线相交于点，作于，与过点的直线相交于点，.

（1）求证：为的切线；

（2）若平分，求证：；

（3）在（2）的条件下，为的中点，连接，若，的半径为，求的长.

12．（2019·辽宁鞍山·九年级期末）已知，AB是⊙O的直径，E、F是⊙O上的点，连接AE、AF、EF，BC是⊙O的切线，过点A作AD∥BC．

（1）如图1，求证：∠DAF＝∠AEF；

（2）如图2，若AD＝BC＝AB，连接CD，延长AF交CD于G，连接CF，若FC＝BC＝4，求AG的长．

13．（2019·浙江）是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A,B（不与M,N重合），且，连接.

（1）如图1，是直径，交于点C，，求的度数；

（2）如图2，连接，过点O作交于点D，求证：；

（3）如图3，连接，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.

14．（2019·黑龙江）已知：内接于，，直径交弦于点.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接并延长交于点，弦经过点，交于点，若，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，，，交于点，连接，，，求线段的长.

15．（2020·广东九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

（3）在（2）的条件下，求HG的长．

16．（2018·陕西西安·西北工业大学附属中学九年级期末）问题提出

（1）如图1．已知∠ACB＝∠ADB＝90°，请用尺规作图作出△ABD的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；点C是否在△ABD的外接圆上　   （填“是”或“否”）．

问题探究

（2）如图2．四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD．求证：CA+CB＝CD；

（3）如图3．点P是正方形ABCD对角线AC的中点，点E是平面上一点，EB＝AB且EA＝BA．点Q是线段AE的中点，请在图中画出点E，并求线段PQ与AB之间的数量关系．

17．（2019·浙江九年级期末）如图1，是⊙的内接等腰三角形，点是弧上异于的一个动点，射线交底边所在的直线于点，连结交于点.

（1）求证：；

（2）若，，①求的值；②如图2，若，求；

（3）若，记，面积和面积的差为，直接写出关于的函数关系式.

18．（2018·黑龙江九年级期末）已知:点在上,弦,垂足,弦,垂足为,弦与相交于点；

(1)如图,求证:；

(2)如图,连接,当平分时,求证:弧弧；

(3)如图,在(2)的条件下,半径与相交于点,连接,若,求线段的长.