2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 精专题07 二次函数（二）倒数第二题（中考模拟）与压轴题（教师版）

专题07二次函数（二）-倒数第二题（中考模拟）与压轴题

一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．
（1）求直线BC及该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）S△DBC=3；（3）F（0，﹣）．
【解析】
试题分析：
（1）由题意可设平移后的直线的解析式为y=kx+3，代入点B的坐标可求得k的值，从而可得直线BC的解析式y=-x+3，由此可解得点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式列方程组可求得b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴，由（1）中所得抛物线的解析式求出其顶点D的坐标即可由S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求出其面积了；
（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G．由（1）（2）易得CD=，tan∠OCD=tan∠GCF=，则CG=2FG，由∠GCF=45°，∠FGD=90°可得△FGD为等腰直角三角形，由此可得FG=GD，由此可得CD=3FG，则FG=，CG=，从而在Rt△CFG中，可得CF=，则OF=CF﹣OC=，就可得到点F的坐标为（0，﹣）．
试题解析：
（1）将直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=kx+3，
将点B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣4，c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴D（2，﹣1）．
∴S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．
（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G，由（1）（2）易得CD=，

∵C（0，3），D（2，﹣1），
∴CD=，
∵tan∠OCD=tan∠GCF=，
∴CG=2FG．
又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，
∴△FGD为等腰直角三角形，
∴FG=GD．
∴CD=3FG，
∴FG=．
∴CG=2FG=．
∴在Rt△CFG中，依据勾股定理可知：CF=．
∴OF=CF﹣OC=．
∴F（0，﹣）．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．
（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求∠FAB的余切值；
（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．

【答案】抛物线的解析式为y=．抛物线的对称轴为x=1；（2）；（3）（0，6）或P（0，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）根据代入法求出函数的解析式，然后根据对称轴的关系式求出对称轴；
（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M，设E（0，t），则OE=t，然后根据题意得到用t表示的F点的坐标，代入解析式可求得t的值，然后根据∠FAB的余切值；
（3）由C点的坐标求出D点的坐标，然后根据∠DAB的余切值求出∠DAB=∠BAF，然后分情况讨论：①当点P在AF的上方和②当点P在AF的下方，求出P点的坐标.试题解析：（1）把C（0，﹣3）代入得：c=﹣3，
∴抛物线的解析式为y=+bx﹣3．
将A（﹣2，0）代入得：×（﹣2）2﹣2b﹣3=0，解得b=﹣，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．
∴抛物线的对称轴为x=﹣=1．
（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M．

设E（0，t），则OE=t．
∵，
∴= = ．
∴F（6，4t）．
将点F（6，4t）代入y=x2﹣x﹣3得：×62﹣×6﹣3=0，解得t= ．
∴cot∠FAB=．
（3）∵抛物线的对称轴为x=1，C（0，﹣3），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴D（2，﹣3）．
∴cot∠DAB= ，
∴∠FAB=∠DAB．
如下图所示：

当点P在AF的上方时，∠PFA=∠DAB=∠FAB，
∴PF∥AB，
∴yp=yF=6．
由（1）可知：F（6，4t），t=．
∴F（6，6）．
∴点P的坐标为（0，6）．
当点P在AF的下方时，如下图所示：

设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，
∴（6﹣m）2+62=（m+2）2，解得：m= ，
∴G（，0）．
设PF的解析式为y=kx+b，将点F和点G的坐标代入得： ，
解得：k= ，b=﹣ ．
∴P（0，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣）．
3．平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．

【答案】（1）（1，4）（2）（0，）或（0，-1）
【解析】
试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；
（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，
∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），
∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），
∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P（1，4）；
（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，
∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，
∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；
（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，
CM=,PM=4，BC=，
∴或 ，
∴CQ=或4，
∴Q1(0，),Q2（0，-1）.

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）C(0,-3a)；（2）；（3）点Q的坐标为（4，0）或（9，0）.
【解析】
试题分析：（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出B点的坐标为（3,0），根据两点式写出二次函数解析式，再令y=0，求出y的值，即可的点C的坐标；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），求出AB、OC的长，然后根据△ABC的面积为6，列方程求出a的值；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，分两种情况求解：当Rt△QGH∽Rt△GFH时，求得m的一个值；当Rt△GFH∽Rt△FCO时，求得m的另一个值.
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
当x=0时，y=﹣3a，
∴C（0，﹣3a）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AB=4，OC=3a，
∴S△ACB=AB•OC=6，
∴6a=6，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，
∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，
∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，
∴OF=2m+1，HF=1，
当∠CGF=90°时，
∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，
∴∠GQH=∠HGF，
∴Rt△QGH∽Rt△GFH，
∴=，即=，解得m=9，
∴Q的坐标为（9，0）；
当∠CFG=90°时，
∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，
∴∠CFO=∠FGH，
∴Rt△GFH∽Rt△FCO，
∴=，即=，解得m=4，
∴Q的坐标为（4，0）；
∠GCF=90°不存在，
综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．

点睛：本题考查了二次函数与几何综合，用到的知识点有：二次函数的对称性，图形与坐标，中心对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和相似三角形的判定与性质.
5．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．
【解析】
试题分析：（1）由等边对等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，进而由两角分别相等的两个三角形相似，可证△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH=，
可得y关于x的解析式；
（3）△EFD是等腰三角形，分三种情况讨论：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵ ED=BD，
∴ ∠B=∠BED．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BEF=90°．
∴ ∠BED+∠GEF=90°．
∴ ∠A=∠GEF．
∵ ∠G是公共角，
∴ △EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,
∵ △EFG∽△AEG，
∴ ,
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴ ∠AHE=∠EHF=90°．
∴ ∠EFA+∠FEH=90°．
∵ ∠AEF=90°，
∴ ∠A+∠EFA=90°,
∴ ∠A=∠FEH,
∴ tanA =tan∠FEH,
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,
∴ EH=2HF,
∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，
∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF=，
∴EH=，
∴y=FG·EH=x·=定义域：（0 （3）当△EFD为等腰三角形时，

①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，
∵∠BED=∠EFH，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ACB=∠AEH=90°，
∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线，
则ED=EF=x，DG=8−x，
∵anA=，
∴x=3，即BE=3；   
②若FE=FD, 此时FG的长度是;
③若DE=DF, 此时FG的长度是.
点睛：此题考查了相似三角形的性质与判定，也考查了求函数解析式，综合性比较强，解题的关键是多次利用相似三角形的判定和性质解决问题.
6．如图在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（,），点的坐标为（，），点的坐标为（,）；某二次函数的图像经过点、点与点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点在该函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点的坐标；
（3）如果第一象限内的点在（1）中求出的二次函数的图像上，且，求的正弦值.

【答案】（1）二次函数的解析式为.；（2），，，；（3）.
【解析】
【解析】
（1）设所求二次函数的解析式为将已知三点坐标代入即可解决问题；（2）由点在该函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，可得出点Q的坐标；
（3）利用三角函数和勾股定理即求的正弦值.解：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 ，，.
所以，这个二次函数的解析式为.
（2）

如图1，
∵点B与点C为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，点A为抛物线的顶点，
∵C(0,5),A(3,1)，
∴AC==5，
当AQ=AC=5时,点Q的坐标为(3,6)或(3,−4)；
当CQ=CA=5时,点Q与点A关于直线BC对称,则Q点的坐标为(3,9)；
当QA=QC时,设Q(3,t),则(t−1)2=32+(t−5)2,解得t=,则Q点坐标为(3, )；
综上所述,满足条件的Q点的坐标为(3,6)或(3,−4)或(3,9)或(3,);
（3）由题意得，该二次函数图像的对称轴为直线.
联结交直线于点，过点作，垂足为 (图2) .
将直线与的交点记为，易得，，.
∴
故可设，则，.又∵，则.
由题意得方程：.解得，，
∴.∴.

“点睛”本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．
7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

【答案】（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；
（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，∴点C的坐标为（0，1）．
∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．
（2）如图，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠PNB，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．
设点P（a，a）．
∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．
解得a=2，∴P（2，2）．

（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．
（i）当时，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．
（ii）当时，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．
当点Q在点A右侧时，综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．

考点：1．相似形综合题；2．分类讨论．
8．已知在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点；

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图象顶点的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点的坐标为，平分，求的值；
【答案】（1）； （2）； （3）；
【解析】
试题分析：（1）把点和点，代入然后解方程中即可函数解析式；
（2）将函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标，根据图象的平移规律，可得M点的坐标；
（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
试题解析：（1）由二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，-3）和点（-1，5），得，解得，
所以二次函数的解析式y=x2-4x；
（2）因为，所以函数顶点M坐标（2，-4），这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m-4）；
（3）由待定系数法，得CP的解析式为，如图：

作MG⊥PC于G，设G（a，a+m），由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG．在Rt△DCM和Rt△GCM中，所以Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）所以CG=DC=4，MG=DM=2，
，化简，得8m=36，解得．
考点：1.待定系数法求函数解析式；2.抛物线的平移规律；3.全等三角形的判定与性质；4.角平分线的性质.
9．（本题满分12分 第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，二次函数x2 x的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为Q，直线QB与y轴交于点E．

（1）求点E的坐标；
（2）在x轴上方找一点C，使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似，请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【解析】
试题分析：（1）令y=0，得
解方程得
又
∴
设直线BQ：

解得

（2）（6分）
考点：二次函数
点评：在求解二次函数相关问题时，图形往往能起到很重要的提示作用，尤其本题中给出了图形，更为解题提供了方便，从图中我们可以很直观得看出二次函数的开口方向，对称轴和最值等信息．
请在此输入详解！
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，顶点为．

（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在轴上找一点（点与点不重合），使得，求点坐标；
（3）在（2）的条件下，将沿直线翻折，得到，求点坐标．
【答案】（1），（1，－4）（2）（3）
【解析】
（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出二次函数解析式，根据顶点坐标公式求顶点坐标；
（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；
（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA=PD=，又∠PAQ=90°，可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．（1）由题意，得
，
解得1分
所以这个二次函数的解析式为
顶点的坐标为（1，－4）
解：（2）【解法一】设
由题意，得，，
1分
∵∠APD=90°，
∴

解得（不合题意，舍去）
∴
【解法二】
如图，作轴，垂足为点，

则由题意，得，
由∠，得∠+∠，
由∠，得∠+∠，
∴∠=∠
又∠=∠，
∴△∽△
∴1分
设
则，解得（不合题意，舍去）
∴
解：（3）【解法一】如图，作⊥轴，垂足为点，
易得,∠，
∴四边形为正方形，
由∠，得∠+∠，
由∠，得∠+∠，
∴∠=∠ ，
又∠=∠，
∴△≌△，
∴，
∴
11．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB




∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：≤m≤5．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是中考的必考题型，考生在解此类问题时一定要注意分析求最大值和最小值所需要函数解决的问题．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝；连接AC，BC，S△ABC＝15．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点M是x轴上方抛物线上一点，且横坐标为m，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N．线段MN有一点H（点H与点M，N不重合），且∠HBA+∠MAB＝90°，求HN的长；
②在①的条件下，若MH＝2NH，直接写出m的值；
（3）在（2）的条件下，设d＝，直搂写出d关于m的函数解析式，并写出m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；（2）①1；②；（3）d＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【解析】
（1）由S△ABC=15=×AB•OC=×5×OC，解得OC=6，故点C（0，6），再用待定系数法即可求解；
（2）①证明△BNH∽△MNA，则，即，即可求解；
②∵MH=MN-HN=MN-2=2HN=2，即MN=3，进而求解；
（3）因为S△MAN=×MN•AN=×（-m2+m+6）（m+2）=-（m+2）2（m-3），而S△NBH=×BN•HN=×（3-m）×1=-（m-3），即可求解．解：（1）∵点A（﹣2，0），对称轴为直线x＝，则点B（3，0），则AB＝5，
∵S△ABC＝15＝×AB•OC＝×5×OC，解得OC＝6，故点C（0，6），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣3），
将点C的坐标代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）如图，∵A（﹣2，0），B （3，0），
设M（m，﹣m2+m+6），则N（m，0），

①∵MN⊥x轴，
∴∠HNB＝∠ANM＝90°，
∴∠BHN+∠HBN＝90°，
又∵∠HBA+∠MAB＝90°，
∴∠BHN＝∠MAB，
∴△BNH∽△MNA，
∴，
∴，
整理得：HN＝1；
②∵MH＝MN﹣HN＝MN﹣2＝2HN＝2，
即MN＝3，
则﹣m2+m+6＝3，解得m＝；
（3）∵S△MAN＝×MN•AN＝×（﹣m2+m+6）（m+2）＝﹣（m+2）2（m﹣3），
而S△NBH＝×BN•HN＝×（3﹣m）×1＝﹣（m﹣3），
则d＝＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，考查了相似三角形的性质与判定，考查了利用数形结合的思想解决数学问题．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线对称轴上一点．
（1）若点（m，4）在抛物线上，则代数式m2﹣2m的值是　 　；
（2）连接PC、PB，当∠PCB＝∠PBC时，求点P的坐标；
（3）以BP为边在BP的下方作等边三角形△BPQ，当点P从点D运动到点E的过程中，求出点Q经过路径的长度是多少？

【答案】（1）-1；（2）点P（1，1）；（3）4
【解析】
（1）将点（m，4）的坐标代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣m2+2m+3＝4，即可求解；
（2）连接BC，当∠PCB＝∠PBC时，则PB＝PC，即点P在BC的中垂线上，进而求解；
（3）证明△DEB≌△QQ′B（SAS），则∠DEB＝∠BQ′Q＝90°，则QQ′＝＝＝4，即可求解．解：（1）将点（m，4）的坐标代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣m2+2m+3＝4，
则m2﹣2m＝﹣1，
故答案为﹣1；
（2）连接BC，当∠PCB＝∠PBC时，则PB＝PC，即点P在BC的中垂线上，

对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
函数的对称轴为x＝1，点D（1，4），
则OB＝OC＝3，故直线BC与x轴负半轴的夹角为45°，设线段BC的中点为H，则点H（，），
∵PH⊥BC，
则直线PH与x轴的夹角为45°，故设直线PH的表达式为y＝x+b，
将点H的坐标代入上式得：＝+b，解得b＝0，
故直线PH的表达式为y＝x，
当x＝1时，y＝x＝1，故点P（1，1）；
（3）如图2，当点P在D时，等边三角形为BDQ，当点P在点E时，等边三角形为EBQ′，连接QQ′，

则BD＝BQ＝DQ，BE＝BQ′＝EQ′，∠DBQ＝∠EBQ′＝60°
∵∠DBE＝∠DBQ+∠QBA＝60°+∠QBA，∠QBQ′＝∠QBA+∠ABQ′＝60°+∠QBA，
∴∠QBE＝∠QBQ′，
∵BD＝BQ，BE＝BQ′
∴△DEB≌△QQ′B（SAS），
∠DEB＝∠BQ′Q＝90°，
由B、D的坐标知，BD＝＝BQ，而BE＝3﹣1＝2＝BQ′，
则QQ′＝＝＝4，
即点Q经过路径的长度是4．
【点睛】
此题主要考查二次函数和几何综合，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质．
14．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN最大时，求运动的时间；
（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）3s；（3）秒．
【解析】
（1）根据已知条件，求出点A、点B、点C的坐标，根据△ABC的面积为5即可求解；
（2）根据题意得出点M、点N的坐标，求出MN的代数式即可求解；
（3）根据两点间的距离的含义，作BC的中垂线即可求解．（1）∵抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C
∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0
∴AB＝n+1，OC＝n
由S△ABC＝×AB×OC＝5
∴
∴
∴取正根n＝4
∴y＝＝x2+x+2；
（2）由（1），B（4，0），C（0，2）
∴直线BC为
设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）
∴MN＝＝＝
∴当m＝2时，MN最大
∴OP＝2
∴AP＝3，即经过3s，MN最大；
（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，

∴△CDE～△COB
∴
由（2），得BC＝2，D（2，1）
∴DE＝2CD＝2
∴CE＝5
∴OE＝3
∴E（0，-3）
∴直线DE为y＝2x-3
由x2+x+2＝2x-3
移项整理得：x2+x-5＝0
∴x2+x-10＝0
取正根x＝
∴OP＝
∴AP＝
即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的动点问题，三角形相似，题目较难，熟练掌握二次函数的性质，两点间距离公式是本题的关键．
15．如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有n﹣≥my02+40y0﹣298成立，求n的最小值；
（3）若m＝﹣，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．

【答案】（1）点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；（2）n的最小值为；（3）点P的坐标为（34，0）．
【解析】
（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，即可求解；
（2）首先求出抛物线对称轴处的取值，根据等边三角形的性质求得C点坐标，即可获得m的值（即抛物线最大值），然后设t＝my02+40y0﹣298，变形为顶点式，代入抛物线最大值得到t=10，最后解不等式即可；
（3）首先求出CM的长，然后证明α＝∠MCH，在△CHM中，tan∠CMH＝，tan∠MCH＝tanα＝4，利用三角形的边角关系即可求出点H的坐标，进而求解．（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；
（2）由点AB的坐标知，AB＝8，函数的对称轴为x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝mx2+4mx﹣12m＝﹣16m，
∵△ABC为等边三角形，则yC＝ACsin∠CAB＝ABsin60°＝8×＝4，
故点C的坐标为（﹣2，4），
则﹣16m＝4，解得m＝﹣，
则抛物线的最大值为4，即y0≤4，
设t＝my02+40y0﹣298，
则t＝﹣4y02+40y0+2＝﹣4（y0﹣5）2﹣298≥﹣4（4﹣5）2+2＝﹣10，
故有n﹣≥﹣10，解得n≥，
故n的最小值为；
（3）连接BC并延长交y轴于点M，设直线CP与y轴交于点H，

过点H作HK⊥CM于点K，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝2x+12，则点M（0，12），
则tan∠CBA＝2，则tan∠CMH＝，
由点C、M的坐标得，CM＝＝，
根据函数的对称性，BC＝CA，则∠ABC＝CAB，
则α＝∠CAB+∠CPB＝∠CBA+∠CPB＝∠MCH，
在△CHM中，tan∠CMH＝，tan∠MCH＝tanα＝4，
则设HK＝4x，则CK＝x，MK＝8x，
则CM＝CK+KM＝x+8x＝9x＝，解得x＝，
HM＝＝x＝，
则OH＝12﹣＝，故点H（0，），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣x+，
令y＝0，则x＝34，
故点P的坐标为（34，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，二次函数的动点问题，锐角三角函数，等边三角形，题目综合性较强，要注意区分三种锐角三角函数的区别．
16．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在右侧），与轴交于点，点坐标为，连接，点是直线上方抛物线上一动点，且横坐标为．过点分别作直线的垂线段，垂足分别为和，连接．

（1）求抛物线及直线的函数关系式；
（2）求出四边形是平行四边形时的值；
（3）请直接写出与相似时的值．
【答案】（1）抛物线的关系式为，直线的关系式为；（2）四边形是平行四边形时的值为或3；（3），，，．
【解析】
（1）由题意易得的值，进而得到二次函数的解析式，则点C、B坐标可得，最后求解直线BC解析式即可；
（2）由题意易得，则，为等腰直角三角形为等腰直角三角形，过点作轴于点，交于点，进而可证，然后可得，设，最后建立方程进行求解即可；
（3）由题意可分以下几种情况进行分类求解：①当点E在点D上方时，存在与相似，②当点E在点D下方时，与相似，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．解:（1）把代入中，
得，
解得，
抛物线的关系式为，
当时，得，
点的坐标为，
当时，得，
解得，
点在点左侧，
点的坐标为，
设直线的关系式为，
把点和代入上式，
得，
解得，
直线的关系式为；
（2）由点坐标可知:，
为等腰直角三角形，，
，为等腰直角三角形，
如答图，过点作轴于点，交于点，

在和中，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
点为抛物线上的动点，点为直线上的点，点的横坐标为，
设，
，
，
解，得，
四边形是平行四边形时的值为或3；
（3），．
由（1）（2）可得△ADB为等腰直角三角形，AB=6，，，，过点D作DE⊥x轴交于点E，

DE=3，
易得点D坐标为，
设直线AC的解析式为，把，代入得：
，解得，
直线AC的解析式为，
由与相似，可得：
①当点E在点D上方时，且∠PDE=∠ACD，如图所示：

PD∥AC，
则有直线AC的斜率与直线PD的斜率相等，
设直线PD的解析式为：，把点D代入得：b=-7，
设直线PD的解析式为：，
联立直线PC与二次函数的解析式得：
，解得：（不符合题意，舍去），
；
②当点E在点D上方时，且∠EPD=∠ACD，取AC的中点F，连接DF，如图所示：

由中点坐标公式易得点，
AD⊥BC，
CF=FD，
∠FCD=∠FDC，
∠FDP=90°，
FD⊥DP，
设直线FD的解析式为：，把点，点D代入解得：
，即直线FD的解析式为：，
设直线DP的解析式为：，把点D代入得：b=13，
直线DP的解析式为：，
联立直线PD与二次函数解析式得：，解得，
；
③当当点E在点D下方时，且∠PDE=∠ACD时，延长PD交AC于点F，如图所示：

∠PDE=∠FDC，
∠FCD=∠FDC，
FC=FD，
AD⊥BC，
易得∠FDA=∠FAD，
CF=AF=FD，
由②可直接得出直线PD的解析式为，
联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得：，
；
④当点E在点D下方，且∠PDE=∠CAD时，延长PD，交AC于点H，如图所示：

∠PDE=∠HDC，
∠HDC+∠HCD=90°，
PH⊥AC，
直线AC与直线PD的斜率之积为-1，
设直线PD的解析式为：，把点D代入得：，
直线PD的解析式为：，
联立直线PD与二次函数的解析式得： ，解得，
；
综上所示：当与相似时，，，，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合运用及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，过点B，C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于 D．设t＝，请求出t的最大值和此时点P的坐标；
（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为，此时P（，）；（3）M（，0）或（，0）．
【解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；
（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，
∴0＝﹣3+c，解得c＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线经过B，C，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0）；
（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．

∵AE∥PF，
∴△PFD∽△AED，
∴＝，
∵S△PBC＝•BC•PF，S△ACB＝•BC•AE，
∴＝，
∵S△ABC＝•AB•OC＝×4×3＝6，
∴t＝＝＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，t有最大值，最大值为，此时P（，）；
（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，

∵∠COM＝∠EHM＝∠CME＝90°，
∴∠EMH+∠CMH＝90°，∠EMH+∠MEH＝90°，
∴∠MEH＝∠CMO，
∵MC＝ME，
∴△COM≌△MHE（AAS），
∴OC＝MH＝3，OM＝EH，设M（m，0），则E（m﹣3，﹣m），
把E（m﹣3，﹣m）代入y＝﹣x2+2x+3，可得﹣（m﹣3）2+2（m﹣3）+3＝﹣m，
整理得，m2﹣9m+12＝0，
解得m＝或，
∴M（，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．
18．如图，点A是直线y＝kx（k＞0）上一点，且在第一象限，点B，C分别是x，y正半轴上的点，且满足∠BAC＝90°．

（1）如图1，当k＝1时，求证：AB＝AC；
（2）如图2，记∠AOB＝α，
①根据所学，不难得到tanα＝　 　，（用含k的式子表示）；
②若k＝，求的值；
（3）如图3，若k＝，连接BC，OA⊥BC，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，B三点，与直线BC相交于点B，D，连接OD，△OBD的面积为，求抛物线的函数表达式．
【答案】（1）见解析；（2）①k；②的值为；（3）抛物线的表达式为y＝x2﹣x
【解析】
（1）证明Rt△ANC≌△Rt△AMB，即可求解；
（2）①根据（1）知，tanα＝k，即可求解；②证明Rt△ANC∽Rt△AMB，则＝tan∠AOB＝k＝；
（3）证明C、O、A、B四点共圆和Rt△CBO△≌Rt△CBA（HL），得到△OAB为等腰三角形，求出点A，将点A的坐标代入抛物线表达式得到 ，而△OBD的面积＝，即可求解．解：（1）如图1，过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点M、N，

当k＝1时，直线OA的表达式为y＝x，则AM＝AN，
∵∠CAN+∠NAB＝90°，∠NAB+∠BAM＝90°，
∴∠CAN＝∠BAM，
∴Rt△ANC≌△Rt△AMB，
∴AC＝AB；
（2）①根据（1）知，tanα＝k，
故答案为k；
②如图1，过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点M、N，
同理可得：∠CAN＝∠BAM，
∴Rt△ANC∽Rt△AMB，
∴＝tan∠AOB＝k＝；
故的值为；
（3）设直线OA交BC于点E，连接AB，过点A作AM⊥x轴于点M，

在Rt△BOC中，∵∠EOB+∠COE＝90°，∠COE+∠ECO＝90°，
∴∠ECO＝∠EOB＝α，
同理∠ACE＝∠EAB，
∵∠COB＝∠CAB＝90°，
∴C、O、A、B四点共圆，则BC是圆的直径，
故∠OCB＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝∠OAB＝α，
∴OB＝AB，
∴△ACO为等腰三角形，
∵AB＝OB，BC＝BC，
∴Rt△CBO≌Rt△CBA（HL），
∴CO＝CA，
而OB＝AB，
故BC⊥OA，
∵tanα＝k＝，则sinα＝，cosα＝，
设点B（m，0）（m＞0），
在Rt△BCE中，OE＝OB＝m，则OE＝OBcosα＝，则OA＝2OE＝，
在Rt△AOM中，AM＝OAsinα＝，
同理可得：OM＝，故点A，
∵tanα＝k＝＝tan∠AOB，则tan∠EBO＝2，
故设直线BD的表达式为y＝﹣2（x﹣m）①，
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝ax（x﹣m）②，
将点A的坐标代入上式得： ③，
联立①②并整理得：ax2+（2﹣am）x﹣2m＝0，
则xBxD＝﹣，即m•xD＝﹣，解得xD＝﹣，
当x＝﹣时，yD＝﹣2（x﹣m）＝+2m，
则△OBD的面积＝×OB×yD＝×m×（+2m）＝④，
联立③④并解得，
故抛物线的表达式为y＝．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合三角函数的知识点是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交与点，与抛物线交于点，此抛物线与轴的正半轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一点．过点作垂直于轴于点，交线段于点，使．
①求点的坐标；
②在直线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）①点坐标是；②存在，或
【解析】
（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用AC=2BC求出点A的坐标，在利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①设点P的坐标为（a，-a2-3a+4），利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出DE和PE的长度，由DE=3PE，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标；
②设点M的坐标为，分别求得AB、AM、BM的长度，根据△ABM是以AB为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是AM为斜边，二是BM为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可．解：（1）∵直线与轴交于点．
∴
∵
∴
∵
∴
∵直线与轴交于点．

∴点坐标为
把点、标代入解析式
得
解得：
∴抛物线的解析式为：

（2）①∵是直线上方的抛物线上一点
∴设点为坐标为
设直线解析式：
将点、坐标代入解析式，得

解得：
∴
∵轴于，交于点
∴点坐标为
∴


∵
∴
解得：（舍去），
当时，

∴点坐标是
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为
∵点A（-2，6），点B（1，0），
∴
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
Ⅰ：当BM为斜边时，可得：AB2+AM2=BM2，
∴，∴
∴点M的坐标为
Ⅱ：当AM为斜边时，可得：AB2+BM2=AM2，
∴，∴
∴点M的坐标为
综上所述，符合题意的点M的坐标为或
【点睛】
本题主要考查二次函数、勾股定理的综合应用，解决第（2）②小题的题目种，构成直角三角形的问题时，若能求得三角形的长度，则可以利用勾股定理解决，同时此类问题中，要注意分类讨论思想的应用．
20．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）如图1，点为抛物线段一动点，于点，轴交于点，当的长度最大时，求点的坐标．
（3）点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．

【答案】（1），；（2）；（3），，
【解析】
（1）先求出二次函数的解析式，即可得到结果；
（2）设轴于点，，求出，根据直角三角形性质得到，求出直线AC的解析式，得到，求出，即可得到结果；
（3）由题意可得：MN∥EF，设M点的坐标为，即可得到N的点，再根据正方形的性质，分类讨论即可；解：（1）∵的图象与轴交于，
∴
∴
∴
当时，
∴
（2）设轴于点，
∵，
∴
在中，
∵，
∴
∴
设直线的解析式为：
∴
∴
∴
∴
即当时最大．
∴．

（3）设M点的坐标为，
则点N的坐标为，
∴MN的长度为
①当MN为直角边时，可知MN∥EF，
∴E，F均在x轴上，
∴M，N点到x轴的距离为，即
∵MNEF为正方形，
∴，
即，
解得，
当x=3时，M点为A点，应舍去
∴M点可为
②当MN是对角线时，
得到，此时E点为MN的垂直平分线与x轴的交点
且△ENM为直角等腰三角形，故MN的长度应该为M到x轴的距离的2倍
得到
解得，，
同理x=3时应舍去
故M点可为，
故综上M点坐标可为，，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，结合正方形的性质是解题的关键．
21．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）t=或2；（3）存在，t=， N（2，-3）．
【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB＝90°时；②当∠PQB＝90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．（1）∵二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式是：．
（2）∵，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
∴BC==，
设BC所在的直线的解析式是：，则：，解得：，
∴BC所在的直线的解析式是：，
∵经过t秒，AP=t，BQ=t，
∴点P的坐标是（t﹣1，0），设点Q的坐标是（x，y），
∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，则y=-t×sin45°=-t，
∴BP=t×cos45°=t，
∴x=3﹣t，
∴点Q的坐标是（3﹣t，-t），
①如图1，
，
当∠QPB=90°时，点P和点Q的横坐标相同，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，-t），
∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形；
②如图2，
，
当∠PQB=90°时，
∵∠PBQ=45°，
∴BP=BQ，
∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=t，
∴4﹣t=，即4﹣t=2t，解得t=，即当t=时，△BPQ为直角三角形．
综上，可得当△BPQ为直角三角形，t=或2．
（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，
，
设PQ所在的直线的解析式是，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，-t），
∴，
解得：，
∴PQ所在的直线的解析式是，
∴点M的坐标是（0，），
∵，=-，
∴PQ的中点H的坐标是（1，-），
假设PQ的中点恰为MN的中点，
∵1×2﹣0=2，-=，
∴点N的坐标是（2，），
又∵点N在抛物线上，
∴=，
∴点N的坐标是（2，-3），
解得t=或t=，
∵t＜2，
∴t=
∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，当t=时在抛物线上是否存在一点N（2，-3），使得PQ的中点恰为MN的中点．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
22．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），；（3）存在，或1．
【解析】
（1）将点，点代入中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标．解：（1）将点，点代入中，
则有，
，
；
（2），
对称轴为，
轴，
，
，
点，点，
的直线解析式为，
设，
交线段BC于点F，
，
，
当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时；
（3）设，
①当时，
，
，
，
，
点横坐标为1；
②当时，
，
，
或（舍），
点横坐标为．
综上所述：P点横坐标为或1．
【点评】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．