一线三等角

一线三等角一.“一线三等角”概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。一线三等角是中考的一大考点，必须得掌握的……二.“一线三等角”的分类（基本模型）全等篇  同侧     锐角                       直角                       钝角             异侧相似篇   同侧       锐角                        直角                  钝角                异侧 三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解一下)①如图 3-3，当∠1=∠2 且时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.构造方法：过O做MN⊥AO交AB,AC于MN. ②如图 3-4（左图）“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 这是内心的性质，如果不满足这个关系则未必是内心.③在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点D 是△PEF的旁心.  5.“一线三等角”的两大变式（图 3-5 ）                     图3-5-1（a）                                           图3-5-1（b）                           图 3-5-21.图a和图b其实是由原来的一线三等角经过平移后形成的，其本质还是最初的相似。2.3-5-2中的四个图不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：①b情况在平面直角坐标系中出现的比较多，大部分的题都是会利用x轴y轴相交所产生的直角来做辅助线。②c情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角（特殊角：45度，30度，60度）或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.比如二次函数中求以该动点为顶角直角三角形时可以构造一线三等角模型。2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似                    下图是对上图构造方法的具体概述坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角特殊角：与45度，30度，60度有关的角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，抛开现象看本质是解题的关键，（送你个口诀：一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好）