广东2020中考数学一轮抢分 5.第五节 二次函数与几何图形综合题

第三章  函  数第六节 二次函数与几何图形综合题（建议时间：     分钟）1. 如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(4，0)，B(－4，－4)，且与y轴交于点C.(1)求此二次函数的解析式；(2)证明：AO平分∠BAC；(3)在二次函数对称轴上是否存在一点P使AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图       2. (2019肇庆模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与x轴交于点B.抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点．(1)求点A、B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．第2题图            3. 如图，以D为顶点的抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3.(1)求抛物线的表达式；(2)请你判断△BCD的形状，并说明理由；(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图             4. (2019泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，C(0，－6)，其对称轴为直线x＝2.(1)求该二次函数的解析式；(2)若直线y＝－x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；(3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2的右侧，若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．第4题图       5. (2019百色)已知抛物线y＝mx2和直线y＝－x＋b经过点M(－2，4)，点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝－x＋b与x轴、y轴交于A、B两点．(1)求m、b的值；(2)当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)满足(2)的条件时，求sin∠BOP的值．第5题图    6. (2019汕头模拟)如图，二次函数y＝－x2＋3x＋m的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．(1)求m的值及C点坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得它到B、C两点的距离和最小，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，请直接写出点P的坐标． 第6题图  
参考答案第六节 二次函数与几何图形综合题1. (1)解：∵点A(4，0)与点B(－4，－4)在二次函数的图象上，∴解得∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2；(2)证明：设直线AB的解析式为y＝ax＋n，则有解得故直线AB的解析式为y＝x－2，如解图，设直线AB与y轴的交点为点D，令x＝0，则y＝－2，故点D为(0，－2)，由(1)可知点C为(0，2)，∴OC＝OD，又∵AO⊥CD，∴AO平分∠BAC；(3)解：存在．∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，设点P的坐标为(1，m)，AP2＝(4－1)2＋m2，BP2＝(1＋4)2＋(m＋4)2，当AP＝BP时，即AP2＝BP2，则有9＋m2＝25＋m2＋16＋8m，解得m＝－4，∴点P的坐标为(1，－4)．第1题解图2. 解：(1)直线解析式为y＝－x＋5，令y＝0，则x＝5，令x＝0，则y＝5，∴点A、B的坐标分别为(0，5)、(5，0)；(2)将点A、B的坐标代入抛物线解析式得解得即抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；(3)抛物线的对称轴为x＝－＝2，则点C的坐标为(4，5)，设点P的坐标为(x，－x2＋4x＋5)，则点D坐标为(x，－x＋5)，∵AC⊥PD，∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2(－x2＋4x＋5＋x－5)＝－2x2＋10x＝－2(x－)2＋，∵a＝－2＜0，∴S四边形APCD有最大值，当x＝时，其最大值为，此时点P的坐标为(，)．3. 解：(1)把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，∴C(0，3)．把y＝0代入y＝－x＋3，得x＝3，∴B(3，0)．将C(0，3)、B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)△BCD是直角三角形，理由如下：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4)又∵C(0，3)、B(3，0)、D(1，4)，∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2.∵()2＋(3)2＝20，(2)2＝20，∴CD2＋BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°.即△BCD是直角三角形；(3)存在，如解图，连接AC，把y＝0代入y＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)．∴OA＝1，AC＝.∴＝.∵＝＝，∴＝.又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB.∴当Q的坐标为(0，0)时，△AQC∽△DCB，过点C作CQ⊥AC，交x轴于点Q.∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC.又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB.∴＝，即＝.解得AQ＝10.∴Q(9，0)．综上所述，点Q的坐标为(0，0)或(9，0)．第3题解图4. 解：(1)根据题意得解得∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－6; (2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－2，0)，C(0，－6)代入，得解得∴直线AC的解析式为y＝－3x－6.联立解得x＝－(m＋6)，∴直线y＝－x＋m与y轴交于点(0，m)，∵△AOC的面积为×2×6＝6，∴由题意得×(m＋6)(m＋6)＝3，∴m＝－2或m＝－10(舍去)，∴m＝－2；(3)∵OA＝2，OC＝6，∴＝3，若以点E为直角顶点的△BED与AOC相似，则：△DEB∽△AOC或△BED∽△AOC，①当△DEB∽△AOC时，＝＝3，如解图①，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，∵＝＝3，∴BG＝3EF，设点E(h，k)，由(1)可得二次函数顶点坐标为(2，－8)，A(－2，0)，对称轴为直线x＝2，∴B(6，0)．∴由题意可知2<h<6，－8<k<0，则BG＝－k，EF＝h－2，∴－k＝3(h－2)，即k＝6－3h，∵点E(h，k)在该二次函数图象上，∴h2－2h－6＝6－3h，解得h＝4或h＝－6(舍)，∴点E的坐标为(4，－6)；②当△BED∽△AOC时，＝＝，如解图②，过点E作EM⊥直线x＝2，交ME的延长线于点足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，∴＝＝，∴BN＝EM，设点E(p，q)且2<p<6，－8<q<0，则BN＝－q，EM＝p－2，∴－q＝(p－2)，即q＝(2－p)，∵点E(p，q)在该二次函数图象上，∴p2－2p－6＝(2－p)，解得p＝或p＝(舍去)，∴点E的坐标为(，)，综上，点E的坐标为(4，－6)或(，)．第4题解图①   第4题解图②5. (1)解：将M(－2，4)分别代入y＝mx2和y＝－x＋b，得解得(2)解：如解图，过点P作PC⊥x轴于点C，延长CP，过点M作MD⊥CP于点D.设P(t，t2)，∴DP＝4－t2，MD＝2＋t，PC＝t2，AC＝2－t.∴MP2＝MD2＋DP2＝(2＋t)2＋(4－t2)2，PA2＝PC2＋AC2＝(t2)2＋(2－t)2.∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形，∴MP＝PA.∴MP2＝PA2.∴(2＋t)2＋(4－t2)2＝(t2)2＋(2－t)2，解得t1＝－1，t2＝2，∴点P的坐标为(－1，1)或(2，4)；(3)解：如解图，连接OP，过点P作PE⊥y轴于点E，当点P的坐标为(2，4)时，PE＝2，OE＝4，∴OP＝2，∴sin∠BOP＝＝＝；同理，当点P的坐标为(－1，1)时，sin∠BOP＝＝.第5题解图6. 解：(1)将B(4，0)代入y＝－x2＋3x＋m，解得m＝4，∴二次函数解析式为y＝－x2＋3x＋4，令x＝0，得y＝4，∴C(0，4)；(2)存在，如解图①，∵MC＋MB≥BC，∴当点M、C、B在一条直线上时，MC＋MB有最小值．∵点C的坐标为(0，4)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b.将点B、C的坐标代入得：解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，∴点M的横坐标为，将x＝代入直线BC的解析式，得y＝－＋4＝，∴点M的坐标为(，)；(3)点P的坐标为(1＋，1＋)或(1－，1－)【解法提示】如解图②，∵点P在抛物线上，∴设P(m，－m2＋3m＋4)，当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B(4，0)，C(0，4)∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝－m2＋3m＋4，∴m＝1±，∴P(1＋，1＋)或P(1－，1－)．第6题解图