2020年广东深圳市中考数学一轮复习 圆补充练习解析版

2020年深圳市中考数学一轮复习之圆补充练习解析版
一、选择题
1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（   ）
A. 32π                                        B. 2π                                        C. 3π                                        D. 6π
2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（   ）

A. 54°                                       B. 64°                                       C. 27°                                       D. 37°
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD.则∠CBD的度数是（      ）

A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 90°
4.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(     )
A. 2π                                       B. 4π                                       C. 12π                                       D. 24π
5.如图，AD是⊙O的直径， AB=CD ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（   ）

A. 40°                                       B. 50°                                       C. 60°                                       D. 70°
6.如图，等腰 ΔABC 的内切圆⊙ O 与 AB ， BC ， CA 分别相切于点 D ， E ， F ，且 AB=AC=5 ， BC=6 ，则 DE 的长是(   )

A. 31010                                   B. 3105                                   C. 355                                   D. 655
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF= 22 ,则AE2+BE2的值为（     ）

A. 8                                         B. 12                                         C. 16                                         D. 20
8.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（    ）

A. 143 π﹣6                             B. 259 π                             C. 338 π﹣3                            D. 33 +π
9.如图，点P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙0于点B，∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为（   ）.

A. 3                                         B. 33                                          C. 6                                          D. 9
10.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为10的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（   ）

A. 58                                         B. 78                                         C. 710                                         D. 45
11.如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（   ）

A. 23 π﹣2 3                       B. 13 π﹣ 3                       C. 43 π﹣2 3                       D. 43 π﹣ 3
12.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（   ）

A. 2                                        B. 2                                        C. 2 2                                        D. 3
13.如图，已知AB是 ⊙O 的直径，点P在BA的延长线上，PD与 ⊙O 相切于点D ， 过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C ， 若 ⊙O 的半径为4， BC=6 ，则PA的长为（    ）

A. 4                                         B. 23                                        C. 3                                         D. 2.5
14.如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ,则光盘的直径是(    )

A. 3                                        B. 33                                       C. 6                                       D. 63
15.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ）

A. 2                                         B. 3                                         C. 2                                         D. 12
二、填空题
16.如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则 BC 的长为________.

17.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为________；

18.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为________寸.

19.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为________．

20.已知扇形的弧长为2 π ，圆心角为60°，则它的半径为________．
21.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， AB  = BC ，若∠AOB=58°，则∠BDC=________度．

22.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=________°．

23.如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在 AmB 上，点D在 AB 上，若∠ACB=70°，则∠ADB=________°．
24.如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝5，sinA＝ 35 ，则弦AB的长为________.

25.如图，四边形ABCD是平行四边形，其中边AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的周长是12π，则四边形ABCD的面积为________．

三、解答题
26.如图，点C是等边△ABD的边AD上的一点，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BD于E、交⊙O于F．

（1）求证：∠BAF＝∠CBD；
（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，求证：CG是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，当AF＝2 2 时，求 DGAC 的值．
27.已知， ΔABC 内接于 ⊙O ，点 P 是弧 AB 的中点，连接 PA 、 PB ；

（1）如图1，若 AC=BC ，求证： AB⊥PC ；
（2）如图2，若 PA 平分 ∠CPM ，求证： AB=AC ；
（3）在（2）的条件下，若 sin∠BPC=2425 ， AC=8 ，求 AP 的值.
28.如图，⊙O中，FG，AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点G的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为 5

（1）分别求出线段AP，CB的长；
（2）如果0E=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E= 32 ，求DE的长.
29.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.

（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，sinB＝ 45 ，求DE的长.
30.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且 ，连接FB，FD，FD交AB于点N.

（1）若AE=1，CD=6，求⊙O的半径；
（2）求证：△BNF为等腰三角形；
（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M.求证：ON·OP=OE·OM.
31.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.

（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA2＝OE•DC：
（3）求tan∠ACD的值.
32.已知△ABC内接于⊙O ， ∠BAC的平分线交⊙O于点D ， 连接DB ， DC ．

（1）如图①，当∠BAC =120°时，请直接写出线段AB ， AC ， AD之间满足的等量关系式：________；
（2）如图②，当∠BAC =90°时，试探究线段AB ， AC ， AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC=5，BD=4，求 ADAB+AC 的值．
33.如图， AB 是⊙ O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， C 、 E 是⊙ O 上的两点， CE=CB ， ∠BCD=∠CAE ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F

（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；
（2）求证： CE=CF
（3）若 BD=1 , CD=2 ,求弦 AC 的长.
34.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE•CP；
（3）当AB=4 3 且 CFCP = 34 时，求劣弧 BD 的长度．
35.如图，在 ΔABC 中， AB=AC ， AO⊥BC 于点 O ， OE⊥AB 于点 E ，以点 O 为圆心， OE 为半径作半圆，交 AO 于点 F .

（1）求证： AC 是 ⊙O 的切线；
（2）若点 F 是 AO 的中点， OE=3 ，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的长.

答案
一、选择题
1.解：把已知数导入弧长公式即可求得： l=n180πR=90×π×6180=3π 。
故答案为：C。
2.解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ 12 ∠BOC＝27°
故答案为：C.
3.解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝ (6−2)×180∘6 ＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝ 12 （180°﹣120°）＝30°，
故答案为：A.
4.S= 120×π×62360=12π ，
故答案为：C．
5.解：∵ AB=CD ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ 12 ∠BOC＝50°。
故答案为：B。
6.连接 OA 、 OE 、 OB ， OB 交 DE 于 H ，如图，

∵ 等腰 ΔABC 的内切圆⊙ O 与 AB ， BC ， CA 分别相切于点 D ， E ， F
∴OA 平分 ∠BAC ， OE⊥BC ， OD⊥AB ， BE=BD ，
∵AB=AC ，
∴AO⊥BC ，
∴ 点 A 、 O 、 E 共线，
即 AE⊥BC ，
∴BE=CE=3 ，
在 RtΔABE 中， AE=52−32=4 ，
∵BD=BE=3 ，
∴AD=2 ，
设⊙ O 的半径为 r ，则 OD=OE=r ， AO=4−r ，
在 RtΔAOD 中， r2+22=(4−r)2 ，解得 r=32 ，
在 RtΔBOE 中， OB=32+(32）2=352 ，
∵BE=BD ， OE=OD ，
∴OB 垂直平分 DE ，
∴DH=EH ， OB⊥DE ，
∵12HE⋅OB=12OE⋅BE ，
∴HE=OE⋅BEOB=3×32352=355 ，
∴DE=2EH=655 ，
故答案为：D．
7.∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF= 22 ，
∴EF=4；
连接BD，

∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中， BE2+DE2=BD2=42=16 ,
∴AE2+BE2=16.
故答案为：C.
8.解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积= 40π×52360=259π ，
故答案为：B．
9.解：连接OA

∵PA为⊙O的切线
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∵∠P=30°
∴OP=OB+BP=2OA=2OB=6
∴BP=3
故答案为：A
10.解：如图，连接AD．

∵OD是直径，
∴∠OAD=90°，
∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO= 810 = 45 ，
故答案为：D．
11.解：连接OB和AC交于点D，如图所示：

∵圆的半径为2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD= 12 OB=1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD= 22−12=3 ，AC=2CD=2 3 ，
∵sin∠COD=    CDOC=32 ，
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO= 12 B×AC= 12 ×2×2 3 =2 3 ，
S扇形AOC= 120×π×22360=43π ，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO= 43π−23 ，
故答案为：C．
12.解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ AC=BC ，
∴∠E= 12 ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： 22+22=22 ．
故答案为：C．
13.连接OD，

∵PD与⊙O相切于点D，∴OD⊥PD，
∴∠PDO=90°，
∵∠BCP=90°，
∴∠PDO=∠PCB，
∵∠P=∠P，
∴△POD∽△PBC，
∴PO：PB=OD：BC，
即PO：（PO+4）=4：6，
∴PO=8，
∴PA=PO-OA=8-4=4，
故答案为：A.
14.解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图）,

∵∠DAC=60°,
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°,
在Rt△AOB中，
∵AB=3,
∴tan∠BAO= OBAB ,
∴OB=AB×tan∠60°=3 3 ，
∴光盘的直径为6 3 .
故答案为：D.
15.解：连接OA

∵∠ABC=30°弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC=60°
∵AP是圆O的切线，
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴AP=OAtan60°=1× 3 = 3
故答案为：B
二、填空题
16.解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴ BC 的长＝ 120π×3180=2π ，
故答案为：2π.
17.解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°。
故答案为：100°。
18.解：设⊙O的半径为r.

在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2 ，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸。
故答案为：26。
19.解：连接OC ，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD ， ∴CE=DE= 12 CD= 12 ×6=3，设⊙O的半径为xcm ， 则OC=xcm ， OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2 ， ∴x2=32+（x﹣1）2 ， 解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
20.解：设扇形的半径为r，根据题意得：60πr180=2π，解得 ：r=6
故答案为：6.
21.解：连接OC．

∵ AB = BC ，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC= 12 ∠BOC=29°，
故答案为29．
22解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
故答案为：120．
23.解：∵点C在 AmB 上，点D在 AB 上，若∠ACB=70°， ∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=110°，
故答案为：110．
24.解：过点O作OC⊥AB，如图所示，

∴C为AB的中点，即AB＝2AC，
在Rt△AOC中，OA＝5，sinA＝ 35 ，
∴OC＝OAsinA＝5× 35 ＝3，
根据勾股定理得：AC＝ OA2−OC2 ＝4，
则AB＝2AC＝8
故答案为：8。
25.连接OB．

∵⊙O的周长是12π，∴2πr=12π，∴r=6．
∵BC是⊙O切线，∴OB⊥BC，∴S平行四边形ABCD=AD•OB=12×6=72．
故答案为：72．

三、解答题
26. （1）解：如图，连接CF．

∵AF为直径，
∴∠ACF＝90°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠BAF＝15°，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠D＝∠DAB＝∠DBA＝60°，
∴∠CBD＝∠ACB﹣∠D＝75°﹣60°＝15°，
∴∠BAF＝∠CBD

（2）解：过点C作CG∥AE交BD于点G，连接CO，
∵∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°，
∠ACF＝90°，
∴∠CFA＝45°，
∴CA＝CF，
∴CO⊥AF，
∵CG∥AE，
∴CO⊥CG，
∴CG是⊙O的切线

（3）解：作CH⊥AB于H，
∵AF＝ 22 ，
∴AC＝CF＝ 22 AF＝2，
在△ACB中，
∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACH＝30°，∠HCB＝∠HBC＝45°，
∴AH＝ 12 AC＝1，CH＝ 3 ，AH＝ 3 ，BH＝CH＝ 3 ，
∴AB＝AH+BH＝1+ 3 ，
∴AD＝AB＝ 1+3 ，CD＝AD﹣AC＝ 1+3−2=3−1
∵CG∥AE，
∴∠DCG＝∠CAF＝45°，
在△DCG与△ABC中，
∠DCG＝∠ABC＝45°，∠D＝∠CAB＝60°，
∴△DCG∽△ABC，
∴ DGAC=CDAB=3−13+1=2−3 ，
∴ DGAC 的值为 2−3 ．
27.（1）证明：∵点P是弧AB的中点，如图1，
∴AP＝BP，
在△APC和△BPC中
{AP=BPAC=BCPC=PC ，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP＝∠BCP，
在△ACE和△BCE中
{AC=BC∠ACP=∠BCPCE=CE ，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠AEC＝∠BEC，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AB⊥PC

（2）证明：∵PA平分∠CPM，
∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，
∵∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC

（3）解：过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，

由（2）得出AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴ sin∠BOD=sin∠BPC = 2425=BDOB ，
设OB＝25x，则BD＝24x，
∴OD＝ OB2−BD2 ＝7x，
在 Rt△ABD 中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，
∴AB＝ AD2+BD2 ＝40x，
∵AC＝8，
∴AB＝40x＝8，
解得：x＝0.2，
∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，
∵点P是 AB 的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE＝ 12 AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在 RtΔAEO 中，OE＝ AO2−AE2=3 ，
∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在 RtΔAPE 中，AP＝ PE2+AE2=22+42=25 .
28.（1）解：AC为直径，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2 5 ，AB=4，
BC= AC2−AB2 =2，
直径FG⊥AB，AP=BP= 12 AB=2；

（2）证明：AP=BP，AO=OC，
OP为△ABC的中位线，
OP= 12 BC=1, OCOP=51
而 OEOA=55=5 , OCOP=OEOA
∠EOC=∠AOP，△EOC∽△AOP，
∠OCE=∠OPA=90°，OC⊥DE，
OC为⊙O的半径，DE是⊙O的切线

（3）解：BC∥EP，∠DCB=∠E，
tan∠DCB=tan∠E= 32
在Rt△BCD中，BC=2,tan∠DCB= BDBC = 32 ，
BD=3，CD= BC2+BD2=13
BC∥EP， DCDE=DBDP  , 13DE=33+2 ,DE= 5133
29. （1）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又DC＝BD，
∴AB＝AC

（2）证明：如图，连接OD，
∵AO＝BO，CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，又DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；

（3）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝AC＝10，
∵sinB＝ ADAB ＝ 45 ，
∴AD＝8，
∴CD＝BD＝ AB2−AD2 ＝6，
∴sinB＝sinC＝ DECD ＝ 45 ，
∴DE＝ 245 .
30. （1）解：如图1，连接BC，AC，AD，

∵CD⊥AB，AB是直径
∴ ，CE=DE= 12 CD=3
∴∠ACD=∠ABC，且∠AEC=∠CEB
∴△ACE∽△CEB
∴ AECE=CEBE
∴ 13=3BE
∴BE=9
∴AB=AE+BE=10
∴⊙O的半径为5

（2）解：∵ ，
∴∠ACD=∠ADC=∠CDF，且DE=DE，∠AED=∠NED=90°
∴△ADE≌△NDE(ASA)
∴∠DAN=∠DNA，AE=EN
∵∠DAB=∠DFB，∠AND=∠FNB
∴∠FNB=∠DFB
∴BN=BF.
∴△BNF是等腰三角形

（3）解：如图2，连接AC，CE，CO，DO，

∵MD是切线，
∴MD⊥DO，
∴∠MDO=∠DEO=90°，∠DOE=∠DOE
∴△MDO∽△DEO
∴ OEOD=ODOM
∴OD2=OE·OM
∵AE=EN，CD⊥AO
∵∠ANC=∠CAN，
∴∠CAP=∠CNO，
∵
∴∠AOC=∠ABF
∵CO∥BF
∴∠PCO=∠PFB
∵ 四边形ACFB是圆内接四边形
∴∠PAC=∠PFB
∴∠PAC=∠PFB=∠PCO=∠CNO，且∠POC=∠COE
∴△CNO∽△PCO
∴ NOCO=COPO
∴CO2=PO·NO，
∴ON·OP=OE·OM.
31.（1）证明：∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，
∴∠ABM＝90°，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝ 12 ∠ABM＝45°
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∴AC＝BC
∴△ACB是等腰直角三角形

（2）证明：如图，连接OD，OC

∵DE＝EO，DO＝CO
∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD
∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD
∴△EDO∽△ODC
∴ ODDC=DEDO
∴OD2＝DE•DC
∴OA2＝DE•DC＝EO•DC

（3）证明：如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，

∵DO＝BO
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，
∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，
∴∠ODB＝15°＝∠OBD
∵∠BAF＝∠DBA＝15°
∴AF＝BF，∠AFD＝30°
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∴AF＝2AD，DF＝ 3 AD
∴BD＝DF+BF＝ 3 AD+2AD
∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝ ADBD ＝ 12+3 ＝2﹣ 3
32. （1）AB＋AC＝AD

（2）AB＋AC＝2AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，
∴MD⊥AD．
∴AM＝2AD，即AB＋BM＝2AD，
∴AB＋AC＝2AD；

（3）解：如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴ANBC=ADBD
∴ADAN=BDBC
又AN＝AB＋BN＝AB＋AC，BC＝5，BD＝4，
∴ADAB+AC=BDBC=45.

解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE＋DE＝AB＋AC；
故答案为：AB＋AC＝AD．

33. （1）解：连接OC

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴弧CE=弧CB
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）证明： 在△ABC和△AFC中
∠BAC＝∠CAEAC＝AC∠ACB＝∠ACF
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；

（3）解： ∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴CDBD=ADCD=ACBC ，
∴21=AD2 ， 21=ACCB
解之：DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC=2a，
在Rt△ABC中
AB2=AC2+BC2 ，
∴12=（2a）2+a2
解之：a=33
∴AC=2×33=63。

34.（1）证明：∵CD是⊙O的直径，PC是⊙O的切线，
∴CD⊥PF，
又∵AF⊥PF，
∴CD∥AF,
∴∠FAC=∠ACD，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO=∠FAC，
∴AC平分∠FAB.

（2）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵CD⊥PF，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD=∠CBP=90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴ BCCP=CEBC ，
∴BC2=CE•CP．

（3）由（1）得AC平分∠FAB，
∵AF⊥PF，CE⊥AB，
∴CE=CF，
∴ CECP=CFCP=34 ，
设CE=3k，则CP=4k，BC2=CE·CP=12k2 ，
在Rt△BCE中，sin∠CBE= CEBC=3k12k=32 ，则∠CBE=60°，
∴∠BOD=2∠CBE=120°，
∴ lBD=120π×432180=433π ．
35.（1）解：过 O 作 AC 垂线 OM ，垂足为 M

∵ AB=AC ， AO⊥BC
∴ AO 平分 ∠BAC
∵ OE⊥AB,OM⊥AC
∴ OE=OM
∵ OE 为⊙ O 的半径，
∴ OM 为⊙ O 的半径，
∴ AC 是⊙ O 的切线 

（2）解：∵ OM=OE=OF=3 且 F 是 OA 的中点
∴ AO=6 ， AE=33 ，
∴ SΔAEO=AO⋅AE÷2=923
∵ OE⊥AB
∴ ∠EOF=600 即 S扇形OEF=9π⋅6003600=3π2 ，
∴ S阴影=923−32π

（3）解：作 B 关于 BC 的对称点 G ，交 BC 于 H ，连接 FG 交 BC 于 P
此时 PE+PF 最小
由（2）知 ∠EOF=600 ， ∠EAO=300 ，
∴ ∠B=600
∵ EO=3
∴ EG=3 ， EH=32 ， BH=32
∵ EG⊥BC ， FO⊥BC
∴ ΔEHP ∽ ΔFOP
∴ EHFO=HPPO=32÷3=12 即 2HP=OP
∵ BO=HP+OP=323 ，
∴ 3HP=323 即 HP=32 ，
∴ BP=32+32=3