2020年广东深圳市中考数学一轮复习 二次函数补充练习解析版

2020年深圳市中考数学一轮复习之二次函数补充练习解析版
一、选择题
1.将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（   ）．
A. y=2(x+2)2+3                   B. y=2(x-2)2+3                   C. y=2(x-2)2-3                   D. y=2(x+2)2-3
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（   ）

A. ac0                       C. 2a−b=0                        D. a−b+c=0
3.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     )

A. ①②                                     B. ①④                                     C. ②③                                     D. ②④
4.已知抛物线 y=−x2+bx+4 经过 (−2,n) 和 (4,n) 两点，则n的值为（    ）
A. ﹣2                                         B. ﹣4                                         C. 2                                         D. 4
5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（    ）
A. 直线x=2                           B. 直线x=-2                           C. 直线x=1                           D. 直线x=-1.
6.若二次函数 y=ax2+bx+a2−2 （ a ， b 为常数）的图象如图，则 a 的值为（    ）

A. 1                                      B. 2                                       C. −2                                       D. -2
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为(    )

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
8.如图,函数 y=ax2−2x+1 和 y=ax−a ( a 是常数,且 a≠0 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ）
A.            B.             C.            D. 
9.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（   ）

A. 此抛物线的解析式是y=﹣ 15 x2+3.5                   B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）                      D. 篮球出手时离地面的高度是2m
10.关于二次函数 y=2x2+4x−1 ，下列说法正确的是（  ）
A. 图像与 y 轴的交点坐标为 (0,1)                          B. 图像的对称轴在 y 轴的右侧      
C. 当 x0 且 c0 ；③ 8a+c>0 ；④ c=3a−3b ；⑤直线 y=2x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c 两个交点的横坐标分别为 x1、x2 ，则 x1+x2+x1⋅x2=−5 .其中正确的个数有(   )

A. 5个                                       B. 4个                                       C. 3个                                       D. 2个
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1 ， m），B（x2 ， m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有（   ）

A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个
14.如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于点 C ， OA=OC ，对称轴为直线 x=1 ，则下列结论：① abc0，c>0，故①错误，
∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，
∴图象与x轴的另一个交点为（-3，0），
∵抛物线的开口向下，
∴a0，故②正确，
∵对称轴x= −b2a =-1，
∴b=2a，
∵x=1时，a+b+c=0，
∴3a+c=0，
∴8a+c=5a0
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1 ， m），B（x2 ， m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 4ac−b24a≤−3 ，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴ 4a•(−8a)−(−2a)24a≤−3 ，
解得： a≥13 ，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1 ， x2 ，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2 ，
∴x1＜﹣2＜4＜x2 ， 故⑤错误；
故答案为：A.
14.解：∵抛物线开口向下，
∴ a0 ，
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴ c>0 ，
∴ abc0 ，
∴ a+12b+14c>0 ，所以②错误；
∵ C(0,c) ， OA=OC ，
∴ A(−c,0) ，
把 A(−c,0) 代入 y=ax2+bx+c 得 ac2−bc+c=0 ，
∴ ac−b+1=0 ，所以③正确；
∵ A(−c,0) ，对称轴为直线 x=1 ，
∴ B(2+c,0) ，
∴ 2+c 是关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个。
故答案为：C。
15.解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− b2a ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 12 ＜2＜ 52 ，
且（ 52 ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ 32 ，y2），
∵ 12 ＜ 32 ，
∴y1＜y2 ， 故③正确，
④∵− b2a =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴- 35 ＜a＜- 25 ，故④正确
故答案为：D．
二、填空题
16.∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△>0，即（-4）2-4k>0，
∴k＜4，
故答案为：k＜4.
17.解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
18.解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ 38 ，
则抛物线解析式为y=﹣ 38 （x+2）（x﹣4）=﹣ 38 x2+ 34 x+3，
故答案为y=﹣ 38 x2+ 34 x+3．
19.解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点， ∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
20.解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5， ∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
21.解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴负半轴，
∴a＞0，﹣ b2a ＞0，c＜0，
∴b＜0，abc＞0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②错误；
③当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，③正确；
④∵0＜﹣ b2a ＜1，
∴﹣2a＜b＜0，
∴2a+b＞0＞c，④正确．
故答案为：①③④．
22.
连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO= 22+22 =2 2 ，∠AOP=45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′=2 2 ×2=4 2 ，
∴AD=DO=sin45°•OA= 22 ×3= 322 ，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 2 × 322 =12．
故答案为：12．
23.解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误． 观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1 ， 故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
24.解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，

∵抛物线y=ax2-4x+c(a ≠ 0)与反比例函数y= 9x  的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴ {a×32−4×3+c=3c=6  
解得， {a=1c=6  
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴ {2m+n=−23m+n=3,得{m=5n=−12  
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x= 125 ,
故答案为：（ 125，0 ）
25.解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（- b2a ，- b2a ）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴- b2a =a（- b2a ）2 ，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2．
三、解答题
26. （1）解：由题意可设抛物线解析式为： y=a(x−4)2−3(a≠0) ．
把 A(1,0) 代入，得 0=a(1−4)2−3 ，
解得 a=13 ．故该二次函数解析式为 y=13(x−4)2−3

（2）解：令 x=0 ，则 y=13(0−4)2−3=73 ．则 OC=73 ．
∵二次函数图象的顶点坐标为 (4,−3) ， A(1,0) ，则点 B 与点 A 关系直线 x=4 对称，
∴ B(7,0) ，∴ OB=7 ．
∴ tan∠ABC=OCOB=737=13 ，即 tan∠ABC=13
27. （1）解：将点 A 、 B 的坐标代入二次函数表达式得： y=a(x−1)(x−5)=a(x2−6x+5) ，
则 5a=4 ，解得： a=45 ，
抛物线的表达式为： y=45(x2−6x+5)=45x2−245x+4 ，
函数的对称轴为： x=3 ，
顶点坐标为 (3,−165)

（2）解：连接 B 、 C 交对称轴于点 P ，此时 PA+PC 的值为最小，

将点 B 、 C 的坐标代入一次函数表达式： y=kx+b 得： {0=5k+bb=4 ，
解得： {k=−45b=4 ，
直线 BC 的表达式为： y=−45x+4 ，
当 x=3 时， y=85 ，
故点 P(3,85)

（3）解：存在，理由：
四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形，
则 S四边形OEBF=OB×yE=5×yE=12 ，
则 yE=125 ，将该坐标代入二次函数表达式得：
y=45(x2−6x+5)=125 ，
解得： x=3±7 ，
故点 E 的坐标为 (3−7 ， 125) 或 (3+7 ， 125) .
28. （1）解：设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： p=kt+b ，
将 (1,49.5) ， (2,49) 代入得， {k+b=49.52k+b=49 ，
解得： {k=−12b=50 ，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： p=−12t+50

（2）解：设每天获得的利润为w元，
由题意得， w=(2t+100)(50−0.5t)−6(2t+100)
=−t2+38t+4400=−(t−19)2+4761 ，
∵ a=−1